Theorem dfsymrel5 38508

Description: Alternate definition of the symmetric relation predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrel5	⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dfsymrel5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrel2 38505	. 2 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		relcnveq4 38280	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)))
3	2	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( SymRel 𝑅 ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  Rel wrel 5705   SymRel wsymrel 38147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-symrel 38500

This theorem is referenced by: (None)