Theorem elsymrels2 39569

Description: Element of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elsymrels2	⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem elsymrels2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels2 39557	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 ⊆ 𝑟}
2		cnveq 5851	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡𝑟 = ◡𝑅)
3		id 23	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
4	2, 3	sseq12d 3964	. 2 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑅 ⊆ 𝑅))
5	1, 4	rabeqel 39189	1 ⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5650   Rels crels 39117   SymRels csymrels 39126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-rels 39372  df-ssr 39510  df-syms 39554  df-symrels 39555

This theorem is used by:  elsymrelsrel  39573