Theorem dfsymrels5 39343

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels5	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦

Proof of Theorem dfsymrels5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels4 39342	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}
2		elrelscnveq2 39340	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 = 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)))
3	1, 2	rabimbieq 38964	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570  {crab 3418   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   Rels crels 38896   SymRels csymrels 38905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-rels 39151  df-ssr 39289  df-syms 39333  df-symrels 39334

This theorem is used by:  elsymrels5  39351