Theorem dfsymrels5 38887

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels5	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦

Proof of Theorem dfsymrels5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels4 38886	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}
2		elrelscnveq2 38884	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 = 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)))
3	1, 2	rabimbieq 38508	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542  {crab 3401   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631   Rels crels 38440   SymRels csymrels 38449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-rels 38695  df-ssr 38833  df-syms 38877  df-symrels 38878

This theorem is referenced by:  elsymrels5  38895