Theorem dfsymrels5 38546

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels5	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑟,𝑦

Proof of Theorem dfsymrels5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels4 38545	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}
2		elrelscnveq2 38491	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 = 𝑟 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)))
3	1, 2	rabimbieq 38247	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  {crab 3408   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5640   Rels crels 38178   SymRels csymrels 38187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-rels 38483  df-ssr 38496  df-syms 38540  df-symrels 38541

This theorem is referenced by:  elsymrels5  38554