Theorem elrelscnveq2 35893

Description: Two ways of saying a relation is symmetric. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrelscnveq2	⊢ (𝑅 ∈ Rels → (◡𝑅 = 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem elrelscnveq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsym 5941	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥)))
3		elrelsrelim 35888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → Rel 𝑅)
4		dfrel2 6013	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ ◡◡𝑅 = 𝑅)
5	3, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ◡◡𝑅 = 𝑅)
6	5	sseq1d 3946	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (◡◡𝑅 ⊆ ◡𝑅 ↔ 𝑅 ⊆ ◡𝑅))
7		cnvsym 5941	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝑅 ⊆ ◡𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥◡𝑅𝑦 → 𝑦◡𝑅𝑥))
8	6, 7	bitr3di 289	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (𝑅 ⊆ ◡𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥◡𝑅𝑦 → 𝑦◡𝑅𝑥)))
9		relbrcnvg 5935	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
10	3, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
11		relbrcnvg 5935	. . . . . . 7 ⊢ (Rel 𝑅 → (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
13	10, 12	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ((𝑥◡𝑅𝑦 → 𝑦◡𝑅𝑥) ↔ (𝑦𝑅𝑥 → 𝑥𝑅𝑦)))
14	13	2albidv 1924	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (∀𝑥∀𝑦(𝑥◡𝑅𝑦 → 𝑦◡𝑅𝑥) ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑦𝑅𝑥 → 𝑥𝑅𝑦)))
15	8, 14	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (𝑅 ⊆ ◡𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑦𝑅𝑥 → 𝑥𝑅𝑦)))
16	2, 15	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ ◡𝑅) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑦𝑅𝑥 → 𝑥𝑅𝑦))))
17		eqss 3930	. 2 ⊢ (◡𝑅 = 𝑅 ↔ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ 𝑅 ⊆ ◡𝑅))
18		2albiim 1891	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦(𝑦𝑅𝑥 → 𝑥𝑅𝑦)))
19	16, 17, 18	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rels → (◡𝑅 = 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518  Rel wrel 5524   Rels crels 35615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-rels 35885

This theorem is referenced by:  elrelscnveq4  35894  dfsymrels5  35944