Theorem elsymrels5 36407

Description: Element of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elsymrels5	⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem elsymrels5

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels5 36399	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥)}
2		breq 5055	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
3		breq 5055	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑦𝑟𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
4	2, 3	bibi12d 349	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)))
5	4	2albidv 1931	. 2 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑟𝑦 ↔ 𝑦𝑟𝑥) ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)))
6	1, 5	rabeqel 36131	1 ⊢ (𝑅 ∈ SymRels ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥) ∧ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1541   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053   Rels crels 36072   SymRels csymrels 36081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-rels 36340  df-ssr 36353  df-syms 36393  df-symrels 36394

This theorem is referenced by: (None)