Theorem dfsymrels4 38534

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels4	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

Proof of Theorem dfsymrels4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels2 38532	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 ⊆ 𝑟}
2		elrelscnveq 38479	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑟 = 𝑟))
3	1, 2	rabimbieq 38236	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

Syntax hints:   = wceq 1540  {crab 3394   ⊆ wss 3903  ^◡ccnv 5618   Rels crels 38167   SymRels csymrels 38176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-rels 38472  df-ssr 38485  df-syms 38529  df-symrels 38530

This theorem is referenced by:  dfsymrels5  38535  elsymrels4  38542