Theorem dfsymrels4 39564

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels4	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

Proof of Theorem dfsymrels4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels2 39558	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 ⊆ 𝑟}
2		elrelscnveq 39561	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑟 = 𝑟))
3	1, 2	rabimbieq 39186	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ^◡ccnv 5649   Rels crels 39118   SymRels csymrels 39127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-rels 39373  df-ssr 39511  df-syms 39555  df-symrels 39556

This theorem is used by:  dfsymrels5  39565  elsymrels4  39572