Theorem dfsymrels4 38743

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels4	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

Proof of Theorem dfsymrels4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels2 38737	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 ⊆ 𝑟}
2		elrelscnveq 38740	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑟 = 𝑟))
3	1, 2	rabimbieq 38388	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

Syntax hints:   = wceq 1541  {crab 3397   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5621   Rels crels 38324   SymRels csymrels 38333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-rels 38564  df-ssr 38690  df-syms 38734  df-symrels 38735

This theorem is referenced by:  dfsymrels5  38744  elsymrels4  38751