Theorem dfsymrels4 39308

Description: Alternate definition of the class of symmetric relations. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfsymrels4	⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

Proof of Theorem dfsymrels4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymrels2 39302	. 2 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 ⊆ 𝑟}
2		elrelscnveq 39305	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ Rels → (◡𝑟 ⊆ 𝑟 ↔ ◡𝑟 = 𝑟))
3	1, 2	rabimbieq 38930	1 ⊢ SymRels = {𝑟 ∈ Rels ∣ ◡𝑟 = 𝑟}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ^◡ccnv 5660   Rels crels 38862   SymRels csymrels 38871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-rels 39117  df-ssr 39255  df-syms 39299  df-symrels 39300

This theorem is used by:  dfsymrels5  39309  elsymrels4  39316