Theorem signswch 35238

Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswch	⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signswch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4587	. . . . . 6 ⊢ { -1, 1} = ({ -1} ∪ {1})
2		snsstp1 4771	. . . . . . 7 ⊢ { -1} ⊆ { -1, 0, 1}
3		snsstp3 4773	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ { -1, 0, 1}
4	2, 3	unssi 4188	. . . . . 6 ⊢ ({ -1} ∪ {1}) ⊆ { -1, 0, 1}
5	1, 4	eqsstri 3955	. . . . 5 ⊢ { -1, 1} ⊆ { -1, 0, 1}
6	5	sseli 3905	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 1} → 𝑋 ∈ { -1, 0, 1})
7		signsw.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
8	7	signspval 35229	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
9	6, 8	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
10	9	neeq1d 3014	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
11		neeq1 3017	. . . 4 ⊢ (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
12	11	bibi1d 346	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑋 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
13		neeq1 3017	. . . 4 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
14	13	bibi1d 346	. . 3 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
15		neirr 2964	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ≠ 𝑋
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑋 ≠ 𝑋)
17		0re 11315	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18	17	ltnri 11424	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
19		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
20	19	oveq2d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
21		neg1cn 12310	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
22		ax-1cn 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		prssi 4776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → { -1, 1} ⊆ ℂ)
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ { -1, 1} ⊆ ℂ
25		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ { -1, 1})
26	24, 25	sselid 3907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	mul01d 11514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
28	20, 27	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
29	28	breq1d 5112	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ 0 < 0))
30	18, 29	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ (𝑋 · 𝑌) < 0)
31	16, 30	2falsed 379	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
32		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ { -1, 0, 1})
33		tpcomb 4708	. . . . . . . 8 ⊢ { -1, 0, 1} = { -1, 1, 0}
34	32, 33	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ { -1, 1, 0})
35		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
36	35	neqned 2962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
37	34, 36	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ∈ { -1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
38		eldifsn 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ({ -1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ { -1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
39		neg1ne0 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
40		ax-1ne0 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
41		diftpsn3 4761	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({ -1, 1, 0} ∖ {0}) = { -1, 1})
42	39, 40, 41	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ({ -1, 1, 0} ∖ {0}) = { -1, 1}
43	42	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ({ -1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ 𝑌 ∈ { -1, 1})
44	38, 43	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0) ↔ 𝑌 ∈ { -1, 1})
45	37, 44	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ { -1, 1})
46		neirr 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -1 ≠ -1
47		0le1 11844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
48		1re 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
49	17, 48	lenlti 11435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
50	47, 49	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 < 0
51		neg1mulneg1e1 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( -1 · -1) = 1
52	51	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1 · -1) < 0 ↔ 1 < 0)
53	50, 52	mtbir 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ( -1 · -1) < 0
54	46, 53	2false 378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1 ≠ -1 ↔ ( -1 · -1) < 0)
55		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ -1 ≠ -1))
56		oveq2 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = -1 → ( -1 · 𝑌) = ( -1 · -1))
57	56	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → (( -1 · 𝑌) < 0 ↔ ( -1 · -1) < 0))
58	55, 57	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0) ↔ ( -1 ≠ -1 ↔ ( -1 · -1) < 0)))
59	54, 58	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
60	59	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
61		neg1rr 12311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
62		neg1lt0 12313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 < 0
63		0lt1 11843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
64	61, 17, 48	lttri 11441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
65	62, 63, 64	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 < 1
66	61, 65	gtneii 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ -1
67	21	mulridi 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -1 · 1) = -1
68	67, 62	eqbrtri 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1 · 1) < 0
69	66, 68	2th 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ -1 ↔ ( -1 · 1) < 0)
70		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
71		oveq2 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = 1 → ( -1 · 𝑌) = ( -1 · 1))
72	71	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → (( -1 · 𝑌) < 0 ↔ ( -1 · 1) < 0))
73	70, 72	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ -1 ↔ ( -1 · 1) < 0)))
74	69, 73	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
75	74	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
76		elpri 4604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ { -1, 1} → (𝑌 = -1 ∨ 𝑌 = 1))
77	60, 75, 76	mpjaodan 973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ { -1, 1} → (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
78	77	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
79		neeq2 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = -1 → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ 𝑌 ≠ -1))
80		oveq1 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = -1 → (𝑋 · 𝑌) = ( -1 · 𝑌))
81	80	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = -1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0))
82	79, 81	bibi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -1 → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0)))
83	82	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ ( -1 · 𝑌) < 0)))
84	78, 83	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
85	45, 84	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
86	66	necomi 3009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ≠ 1
87	21, 22	mulcomi 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( -1 · 1) = (1 · -1)
88	87	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1 · 1) < 0 ↔ (1 · -1) < 0)
89	68, 88	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · -1) < 0
90	86, 89	2th 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)
91		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ -1 ≠ 1))
92		oveq2 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = -1 → (1 · 𝑌) = (1 · -1))
93	92	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · -1) < 0))
94	91, 93	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ ( -1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)))
95	90, 94	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
96	95	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
97		neirr 2964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
98	22	mulridi 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 1) = 1
99	98	breq1i 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 1) < 0 ↔ 1 < 0)
100	50, 99	mtbir 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 · 1) < 0
101	97, 100	2false 378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)
102		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
103		oveq2 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = 1 → (1 · 𝑌) = (1 · 1))
104	103	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 1) < 0))
105	102, 104	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)))
106	101, 105	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
107	106	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
108	96, 107, 76	mpjaodan 973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ { -1, 1} → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
109	108	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
110		neeq2 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 1 → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ 𝑌 ≠ 1))
111		oveq1 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 1 → (𝑋 · 𝑌) = (1 · 𝑌))
112	111	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
113	110, 112	bibi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 1 → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
114	113	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
115	109, 114	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
116	45, 115	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
117		elpri 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ { -1, 1} → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118	117	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
119	85, 116, 118	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
120	12, 14, 31, 119	ifbothda 4520	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) → (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
121	10, 120	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑋 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑌 ∈ { -1, 0, 1}) → ((𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  ifcif 4481  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∈ cmpo 7424  ℂcc 11203  0cc0 11205  1c1 11206   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349   -cneg 11547  ndxcnx 17378  Basecbs 17394  +_gcplusg 17435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549

This theorem is used by:  signsvfn  35259