Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signswch 31438
Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
Assertion
Ref Expression
signswch ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswch
StepHypRef Expression
1 df-pr 4438 . . . . . 6 {-1, 1} = ({-1} ∪ {1})
2 snsstp1 4617 . . . . . . 7 {-1} ⊆ {-1, 0, 1}
3 snsstp3 4619 . . . . . . 7 {1} ⊆ {-1, 0, 1}
42, 3unssi 4045 . . . . . 6 ({-1} ∪ {1}) ⊆ {-1, 0, 1}
51, 4eqsstri 3887 . . . . 5 {-1, 1} ⊆ {-1, 0, 1}
65sseli 3850 . . . 4 (𝑋 ∈ {-1, 1} → 𝑋 ∈ {-1, 0, 1})
7 signsw.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
87signspval 31429 . . . 4 ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
96, 8sylan 572 . . 3 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
109neeq1d 3020 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
11 neeq1 3023 . . . 4 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1211bibi1d 336 . . 3 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
13 neeq1 3023 . . . 4 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1413bibi1d 336 . . 3 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
15 neirr 2970 . . . . 5 ¬ 𝑋𝑋
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑋𝑋)
17 0re 10433 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1817ltnri 10541 . . . . 5 ¬ 0 < 0
19 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
2019oveq2d 6986 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
21 neg1cn 11554 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
22 ax-1cn 10385 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
23 prssi 4622 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
2421, 22, 23mp2an 679 . . . . . . . . 9 {-1, 1} ⊆ ℂ
25 simpll 754 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ {-1, 1})
2624, 25sseldi 3852 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
2726mul01d 10631 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
2820, 27eqtrd 2808 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
2928breq1d 4933 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ 0 < 0))
3018, 29mtbiri 319 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ (𝑋 · 𝑌) < 0)
3116, 302falsed 369 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
32 simplr 756 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 0, 1})
33 tpcomb 4555 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
3432, 33syl6eleq 2870 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1, 0})
35 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
3635neqned 2968 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
3734, 36jca 504 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
38 eldifsn 4587 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
39 neg1ne0 11556 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
40 ax-1ne0 10396 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
41 diftpsn3 4603 . . . . . . . . 9 ((-1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1})
4239, 40, 41mp2an 679 . . . . . . . 8 ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1}
4342eleq2i 2851 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4438, 43bitr3i 269 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4537, 44sylib 210 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1})
46 neirr 2970 . . . . . . . . . . 11 ¬ -1 ≠ -1
47 0le1 10956 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
48 1re 10431 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
4917, 48lenlti 10552 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
5047, 49mpbi 222 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 < 0
51 neg1mulneg1e1 11653 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · -1) = 1
5251breq1i 4930 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · -1) < 0 ↔ 1 < 0)
5350, 52mtbir 315 . . . . . . . . . . 11 ¬ (-1 · -1) < 0
5446, 532false 368 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)
55 neeq1 3023 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ -1 ≠ -1))
56 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · -1))
5756breq1d 4933 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · -1) < 0))
5855, 57bibi12d 338 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)))
5954, 58mpbiri 250 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
6059adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
61 neg1rr 11555 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
62 neg1lt0 11557 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
63 0lt1 10955 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6461, 17, 48lttri 10558 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
6562, 63, 64mp2an 679 . . . . . . . . . . . 12 -1 < 1
6661, 65gtneii 10544 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ -1
6721mulid1i 10436 . . . . . . . . . . . 12 (-1 · 1) = -1
6867, 62eqbrtri 4944 . . . . . . . . . . 11 (-1 · 1) < 0
6966, 682th 256 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)
70 neeq1 3023 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
71 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · 1))
7271breq1d 4933 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 1) < 0))
7370, 72bibi12d 338 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)))
7469, 73mpbiri 250 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7574adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
76 elpri 4457 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 = -1 ∨ 𝑌 = 1))
7760, 75, 76mpjaodan 941 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7877adantr 473 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
79 neeq2 3024 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ -1))
80 oveq1 6977 . . . . . . . . 9 (𝑋 = -1 → (𝑋 · 𝑌) = (-1 · 𝑌))
8180breq1d 4933 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
8279, 81bibi12d 338 . . . . . . 7 (𝑋 = -1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8382adantl 474 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8478, 83mpbird 249 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8545, 84sylan 572 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8666necomi 3015 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 1
8721, 22mulcomi 10440 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · 1) = (1 · -1)
8887breq1i 4930 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · 1) < 0 ↔ (1 · -1) < 0)
8968, 88mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 (1 · -1) < 0
9086, 892th 256 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)
91 neeq1 3023 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ -1 ≠ 1))
92 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (1 · 𝑌) = (1 · -1))
9392breq1d 4933 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · -1) < 0))
9491, 93bibi12d 338 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)))
9590, 94mpbiri 250 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
9695adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
97 neirr 2970 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≠ 1
9822mulid1i 10436 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
9998breq1i 4930 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) < 0 ↔ 1 < 0)
10050, 99mtbir 315 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 · 1) < 0
10197, 1002false 368 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)
102 neeq1 3023 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
103 oveq2 6978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (1 · 𝑌) = (1 · 1))
104103breq1d 4933 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 1) < 0))
105102, 104bibi12d 338 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)))
106101, 105mpbiri 250 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
107106adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
10896, 107, 76mpjaodan 941 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
109108adantr 473 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
110 neeq2 3024 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ 1))
111 oveq1 6977 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 1 → (𝑋 · 𝑌) = (1 · 𝑌))
112111breq1d 4933 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
113110, 112bibi12d 338 . . . . . . 7 (𝑋 = 1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
114113adantl 474 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
115109, 114mpbird 249 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
11645, 115sylan 572 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
117 elpri 4457 . . . . 5 (𝑋 ∈ {-1, 1} → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118117ad2antrr 713 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
11985, 116, 118mpjaodan 941 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12012, 14, 31, 119ifbothda 4381 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12110, 120bitrd 271 1 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  cdif 3822  cun 3823  wss 3825  ifcif 4344  {csn 4435  {cpr 4437  {ctp 4439  cop 4441   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  cc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   · cmul 10332   < clt 10466  cle 10467  -cneg 10663  ndxcnx 16326  Basecbs 16329  +gcplusg 16411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665
This theorem is referenced by:  signsvfn  31461
  Copyright terms: Public domain W3C validator