Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signswch 32252
Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
Assertion
Ref Expression
signswch ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswch
StepHypRef Expression
1 df-pr 4544 . . . . . 6 {-1, 1} = ({-1} ∪ {1})
2 snsstp1 4729 . . . . . . 7 {-1} ⊆ {-1, 0, 1}
3 snsstp3 4731 . . . . . . 7 {1} ⊆ {-1, 0, 1}
42, 3unssi 4099 . . . . . 6 ({-1} ∪ {1}) ⊆ {-1, 0, 1}
51, 4eqsstri 3935 . . . . 5 {-1, 1} ⊆ {-1, 0, 1}
65sseli 3896 . . . 4 (𝑋 ∈ {-1, 1} → 𝑋 ∈ {-1, 0, 1})
7 signsw.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
87signspval 32243 . . . 4 ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
96, 8sylan 583 . . 3 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
109neeq1d 3000 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
11 neeq1 3003 . . . 4 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1211bibi1d 347 . . 3 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
13 neeq1 3003 . . . 4 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1413bibi1d 347 . . 3 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
15 neirr 2949 . . . . 5 ¬ 𝑋𝑋
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑋𝑋)
17 0re 10835 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1817ltnri 10941 . . . . 5 ¬ 0 < 0
19 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
2019oveq2d 7229 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
21 neg1cn 11944 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
22 ax-1cn 10787 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
23 prssi 4734 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
2421, 22, 23mp2an 692 . . . . . . . . 9 {-1, 1} ⊆ ℂ
25 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ {-1, 1})
2624, 25sseldi 3899 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
2726mul01d 11031 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
2820, 27eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
2928breq1d 5063 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ 0 < 0))
3018, 29mtbiri 330 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ (𝑋 · 𝑌) < 0)
3116, 302falsed 380 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
32 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 0, 1})
33 tpcomb 4667 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
3432, 33eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1, 0})
35 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
3635neqned 2947 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
3734, 36jca 515 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
38 eldifsn 4700 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
39 neg1ne0 11946 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
40 ax-1ne0 10798 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
41 diftpsn3 4715 . . . . . . . . 9 ((-1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1})
4239, 40, 41mp2an 692 . . . . . . . 8 ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1}
4342eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4438, 43bitr3i 280 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4537, 44sylib 221 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1})
46 neirr 2949 . . . . . . . . . . 11 ¬ -1 ≠ -1
47 0le1 11355 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
48 1re 10833 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
4917, 48lenlti 10952 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
5047, 49mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 < 0
51 neg1mulneg1e1 12043 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · -1) = 1
5251breq1i 5060 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · -1) < 0 ↔ 1 < 0)
5350, 52mtbir 326 . . . . . . . . . . 11 ¬ (-1 · -1) < 0
5446, 532false 379 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)
55 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ -1 ≠ -1))
56 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · -1))
5756breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · -1) < 0))
5855, 57bibi12d 349 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)))
5954, 58mpbiri 261 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
6059adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
61 neg1rr 11945 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
62 neg1lt0 11947 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
63 0lt1 11354 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6461, 17, 48lttri 10958 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
6562, 63, 64mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 -1 < 1
6661, 65gtneii 10944 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ -1
6721mulid1i 10837 . . . . . . . . . . . 12 (-1 · 1) = -1
6867, 62eqbrtri 5074 . . . . . . . . . . 11 (-1 · 1) < 0
6966, 682th 267 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)
70 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
71 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · 1))
7271breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 1) < 0))
7370, 72bibi12d 349 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)))
7469, 73mpbiri 261 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7574adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
76 elpri 4563 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 = -1 ∨ 𝑌 = 1))
7760, 75, 76mpjaodan 959 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7877adantr 484 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
79 neeq2 3004 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ -1))
80 oveq1 7220 . . . . . . . . 9 (𝑋 = -1 → (𝑋 · 𝑌) = (-1 · 𝑌))
8180breq1d 5063 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
8279, 81bibi12d 349 . . . . . . 7 (𝑋 = -1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8382adantl 485 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8478, 83mpbird 260 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8545, 84sylan 583 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8666necomi 2995 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 1
8721, 22mulcomi 10841 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · 1) = (1 · -1)
8887breq1i 5060 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · 1) < 0 ↔ (1 · -1) < 0)
8968, 88mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 (1 · -1) < 0
9086, 892th 267 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)
91 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ -1 ≠ 1))
92 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (1 · 𝑌) = (1 · -1))
9392breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · -1) < 0))
9491, 93bibi12d 349 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)))
9590, 94mpbiri 261 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
9695adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
97 neirr 2949 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≠ 1
9822mulid1i 10837 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
9998breq1i 5060 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) < 0 ↔ 1 < 0)
10050, 99mtbir 326 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 · 1) < 0
10197, 1002false 379 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)
102 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
103 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (1 · 𝑌) = (1 · 1))
104103breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 1) < 0))
105102, 104bibi12d 349 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)))
106101, 105mpbiri 261 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
107106adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
10896, 107, 76mpjaodan 959 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
109108adantr 484 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
110 neeq2 3004 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ 1))
111 oveq1 7220 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 1 → (𝑋 · 𝑌) = (1 · 𝑌))
112111breq1d 5063 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
113110, 112bibi12d 349 . . . . . . 7 (𝑋 = 1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
114113adantl 485 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
115109, 114mpbird 260 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
11645, 115sylan 583 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
117 elpri 4563 . . . . 5 (𝑋 ∈ {-1, 1} → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118117ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
11985, 116, 118mpjaodan 959 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12012, 14, 31, 119ifbothda 4477 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12110, 120bitrd 282 1 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  cdif 3863  cun 3864  wss 3866  ifcif 4439  {csn 4541  {cpr 4543  {ctp 4545  cop 4547   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  -cneg 11063  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  +gcplusg 16802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065
This theorem is referenced by:  signsvfn  32273
  Copyright terms: Public domain W3C validator