Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signswch 34554
Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
Assertion
Ref Expression
signswch ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswch
StepHypRef Expression
1 df-pr 4633 . . . . . 6 {-1, 1} = ({-1} ∪ {1})
2 snsstp1 4820 . . . . . . 7 {-1} ⊆ {-1, 0, 1}
3 snsstp3 4822 . . . . . . 7 {1} ⊆ {-1, 0, 1}
42, 3unssi 4200 . . . . . 6 ({-1} ∪ {1}) ⊆ {-1, 0, 1}
51, 4eqsstri 4029 . . . . 5 {-1, 1} ⊆ {-1, 0, 1}
65sseli 3990 . . . 4 (𝑋 ∈ {-1, 1} → 𝑋 ∈ {-1, 0, 1})
7 signsw.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
87signspval 34545 . . . 4 ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
96, 8sylan 580 . . 3 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
109neeq1d 2997 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
11 neeq1 3000 . . . 4 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1211bibi1d 343 . . 3 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
13 neeq1 3000 . . . 4 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1413bibi1d 343 . . 3 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
15 neirr 2946 . . . . 5 ¬ 𝑋𝑋
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑋𝑋)
17 0re 11260 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1817ltnri 11367 . . . . 5 ¬ 0 < 0
19 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
2019oveq2d 7446 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
21 neg1cn 12377 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
22 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
23 prssi 4825 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
2421, 22, 23mp2an 692 . . . . . . . . 9 {-1, 1} ⊆ ℂ
25 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ {-1, 1})
2624, 25sselid 3992 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
2726mul01d 11457 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
2820, 27eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
2928breq1d 5157 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ 0 < 0))
3018, 29mtbiri 327 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ (𝑋 · 𝑌) < 0)
3116, 302falsed 376 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
32 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 0, 1})
33 tpcomb 4755 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
3432, 33eleqtrdi 2848 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1, 0})
35 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
3635neqned 2944 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
3734, 36jca 511 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
38 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
39 neg1ne0 12379 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
40 ax-1ne0 11221 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
41 diftpsn3 4806 . . . . . . . . 9 ((-1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1})
4239, 40, 41mp2an 692 . . . . . . . 8 ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1}
4342eleq2i 2830 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4438, 43bitr3i 277 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4537, 44sylib 218 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1})
46 neirr 2946 . . . . . . . . . . 11 ¬ -1 ≠ -1
47 0le1 11783 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
48 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
4917, 48lenlti 11378 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
5047, 49mpbi 230 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 < 0
51 neg1mulneg1e1 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · -1) = 1
5251breq1i 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · -1) < 0 ↔ 1 < 0)
5350, 52mtbir 323 . . . . . . . . . . 11 ¬ (-1 · -1) < 0
5446, 532false 375 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)
55 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ -1 ≠ -1))
56 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · -1))
5756breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · -1) < 0))
5855, 57bibi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)))
5954, 58mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
6059adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
61 neg1rr 12378 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
62 neg1lt0 12380 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
63 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6461, 17, 48lttri 11384 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
6562, 63, 64mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 -1 < 1
6661, 65gtneii 11370 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ -1
6721mulridi 11262 . . . . . . . . . . . 12 (-1 · 1) = -1
6867, 62eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . 11 (-1 · 1) < 0
6966, 682th 264 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)
70 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
71 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · 1))
7271breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 1) < 0))
7370, 72bibi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)))
7469, 73mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7574adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
76 elpri 4653 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 = -1 ∨ 𝑌 = 1))
7760, 75, 76mpjaodan 960 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7877adantr 480 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
79 neeq2 3001 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ -1))
80 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑋 = -1 → (𝑋 · 𝑌) = (-1 · 𝑌))
8180breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
8279, 81bibi12d 345 . . . . . . 7 (𝑋 = -1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8382adantl 481 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8478, 83mpbird 257 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8545, 84sylan 580 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8666necomi 2992 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 1
8721, 22mulcomi 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · 1) = (1 · -1)
8887breq1i 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · 1) < 0 ↔ (1 · -1) < 0)
8968, 88mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 (1 · -1) < 0
9086, 892th 264 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)
91 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ -1 ≠ 1))
92 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (1 · 𝑌) = (1 · -1))
9392breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · -1) < 0))
9491, 93bibi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)))
9590, 94mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
9695adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
97 neirr 2946 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≠ 1
9822mulridi 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
9998breq1i 5154 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) < 0 ↔ 1 < 0)
10050, 99mtbir 323 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 · 1) < 0
10197, 1002false 375 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)
102 neeq1 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
103 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (1 · 𝑌) = (1 · 1))
104103breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 1) < 0))
105102, 104bibi12d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)))
106101, 105mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
107106adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
10896, 107, 76mpjaodan 960 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
109108adantr 480 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
110 neeq2 3001 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ 1))
111 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 1 → (𝑋 · 𝑌) = (1 · 𝑌))
112111breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
113110, 112bibi12d 345 . . . . . . 7 (𝑋 = 1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
114113adantl 481 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
115109, 114mpbird 257 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
11645, 115sylan 580 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
117 elpri 4653 . . . . 5 (𝑋 ∈ {-1, 1} → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118117ad2antrr 726 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
11985, 116, 118mpjaodan 960 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12012, 14, 31, 119ifbothda 4568 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12110, 120bitrd 279 1 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  cop 4636   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  -cneg 11490  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  +gcplusg 17297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492
This theorem is referenced by:  signsvfn  34575
  Copyright terms: Public domain W3C validator