Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswch Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signswch 33572
Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsw.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
Assertion
Ref Expression
signswch ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑋 ⨣ π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑋   π‘Œ,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   ⨣ (π‘Ž,𝑏)   π‘Š(π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signswch
StepHypRef Expression
1 df-pr 4632 . . . . . 6 {-1, 1} = ({-1} βˆͺ {1})
2 snsstp1 4820 . . . . . . 7 {-1} βŠ† {-1, 0, 1}
3 snsstp3 4822 . . . . . . 7 {1} βŠ† {-1, 0, 1}
42, 3unssi 4186 . . . . . 6 ({-1} βˆͺ {1}) βŠ† {-1, 0, 1}
51, 4eqsstri 4017 . . . . 5 {-1, 1} βŠ† {-1, 0, 1}
65sseli 3979 . . . 4 (𝑋 ∈ {-1, 1} β†’ 𝑋 ∈ {-1, 0, 1})
7 signsw.p . . . . 5 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
87signspval 33563 . . . 4 ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑋 ⨣ π‘Œ) = if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ))
96, 8sylan 581 . . 3 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (𝑋 ⨣ π‘Œ) = if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ))
109neeq1d 3001 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑋 ⨣ π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β‰  𝑋))
11 neeq1 3004 . . . 4 (𝑋 = if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β†’ (𝑋 β‰  𝑋 ↔ if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β‰  𝑋))
1211bibi1d 344 . . 3 (𝑋 = if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β†’ ((𝑋 β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0)))
13 neeq1 3004 . . . 4 (π‘Œ = if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β‰  𝑋))
1413bibi1d 344 . . 3 (π‘Œ = if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β†’ ((π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0)))
15 neirr 2950 . . . . 5 Β¬ 𝑋 β‰  𝑋
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ Β¬ 𝑋 β‰  𝑋)
17 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1817ltnri 11323 . . . . 5 Β¬ 0 < 0
19 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ π‘Œ = 0)
2019oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· 0))
21 neg1cn 12326 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
22 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
23 prssi 4825 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ {-1, 1} βŠ† β„‚)
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . 9 {-1, 1} βŠ† β„‚
25 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ 𝑋 ∈ {-1, 1})
2624, 25sselid 3981 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2726mul01d 11413 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 Β· 0) = 0)
2820, 27eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = 0)
2928breq1d 5159 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) < 0 ↔ 0 < 0))
3018, 29mtbiri 327 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ Β¬ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0)
3116, 302falsed 377 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
32 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1})
33 tpcomb 4756 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
3432, 33eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ π‘Œ ∈ {-1, 1, 0})
35 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ Β¬ π‘Œ = 0)
3635neqned 2948 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ π‘Œ β‰  0)
3734, 36jca 513 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ (π‘Œ ∈ {-1, 1, 0} ∧ π‘Œ β‰  0))
38 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ ({-1, 1, 0} βˆ– {0}) ↔ (π‘Œ ∈ {-1, 1, 0} ∧ π‘Œ β‰  0))
39 neg1ne0 12328 . . . . . . . . 9 -1 β‰  0
40 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . 9 1 β‰  0
41 diftpsn3 4806 . . . . . . . . 9 ((-1 β‰  0 ∧ 1 β‰  0) β†’ ({-1, 1, 0} βˆ– {0}) = {-1, 1})
4239, 40, 41mp2an 691 . . . . . . . 8 ({-1, 1, 0} βˆ– {0}) = {-1, 1}
4342eleq2i 2826 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ ({-1, 1, 0} βˆ– {0}) ↔ π‘Œ ∈ {-1, 1})
4438, 43bitr3i 277 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ {-1, 1, 0} ∧ π‘Œ β‰  0) ↔ π‘Œ ∈ {-1, 1})
4537, 44sylib 217 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ π‘Œ ∈ {-1, 1})
46 neirr 2950 . . . . . . . . . . 11 Β¬ -1 β‰  -1
47 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ 1
48 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
4917, 48lenlti 11334 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 0)
5047, 49mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 1 < 0
51 neg1mulneg1e1 12425 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 Β· -1) = 1
5251breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 Β· -1) < 0 ↔ 1 < 0)
5350, 52mtbir 323 . . . . . . . . . . 11 Β¬ (-1 Β· -1) < 0
5446, 532false 376 . . . . . . . . . 10 (-1 β‰  -1 ↔ (-1 Β· -1) < 0)
55 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = -1 β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ -1 β‰  -1))
56 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ = -1 β†’ (-1 Β· π‘Œ) = (-1 Β· -1))
5756breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = -1 β†’ ((-1 Β· π‘Œ) < 0 ↔ (-1 Β· -1) < 0))
5855, 57bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = -1 β†’ ((π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (-1 β‰  -1 ↔ (-1 Β· -1) < 0)))
5954, 58mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = -1 β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
6059adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ = -1) β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
61 neg1rr 12327 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
62 neg1lt0 12329 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
63 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6461, 17, 48lttri 11340 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) β†’ -1 < 1)
6562, 63, 64mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 -1 < 1
6661, 65gtneii 11326 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  -1
6721mulridi 11218 . . . . . . . . . . . 12 (-1 Β· 1) = -1
6867, 62eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . 11 (-1 Β· 1) < 0
6966, 682th 264 . . . . . . . . . 10 (1 β‰  -1 ↔ (-1 Β· 1) < 0)
70 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = 1 β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ 1 β‰  -1))
71 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ = 1 β†’ (-1 Β· π‘Œ) = (-1 Β· 1))
7271breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = 1 β†’ ((-1 Β· π‘Œ) < 0 ↔ (-1 Β· 1) < 0))
7370, 72bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = 1 β†’ ((π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (1 β‰  -1 ↔ (-1 Β· 1) < 0)))
7469, 73mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = 1 β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
7574adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ = 1) β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
76 elpri 4651 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ {-1, 1} β†’ (π‘Œ = -1 ∨ π‘Œ = 1))
7760, 75, 76mpjaodan 958 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ {-1, 1} β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
7877adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) β†’ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
79 neeq2 3005 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ π‘Œ β‰  -1))
80 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑋 = -1 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (-1 Β· π‘Œ))
8180breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) < 0 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0))
8279, 81bibi12d 346 . . . . . . 7 (𝑋 = -1 β†’ ((π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0)))
8382adantl 483 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) β†’ ((π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (π‘Œ β‰  -1 ↔ (-1 Β· π‘Œ) < 0)))
8478, 83mpbird 257 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
8545, 84sylan 581 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) ∧ 𝑋 = -1) β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
8666necomi 2996 . . . . . . . . . . 11 -1 β‰  1
8721, 22mulcomi 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 Β· 1) = (1 Β· -1)
8887breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 Β· 1) < 0 ↔ (1 Β· -1) < 0)
8968, 88mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (1 Β· -1) < 0
9086, 892th 264 . . . . . . . . . 10 (-1 β‰  1 ↔ (1 Β· -1) < 0)
91 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = -1 β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ -1 β‰  1))
92 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ = -1 β†’ (1 Β· π‘Œ) = (1 Β· -1))
9392breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = -1 β†’ ((1 Β· π‘Œ) < 0 ↔ (1 Β· -1) < 0))
9491, 93bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = -1 β†’ ((π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (-1 β‰  1 ↔ (1 Β· -1) < 0)))
9590, 94mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = -1 β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
9695adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ = -1) β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
97 neirr 2950 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 β‰  1
9822mulridi 11218 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· 1) = 1
9998breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((1 Β· 1) < 0 ↔ 1 < 0)
10050, 99mtbir 323 . . . . . . . . . . 11 Β¬ (1 Β· 1) < 0
10197, 1002false 376 . . . . . . . . . 10 (1 β‰  1 ↔ (1 Β· 1) < 0)
102 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = 1 β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ 1 β‰  1))
103 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ = 1 β†’ (1 Β· π‘Œ) = (1 Β· 1))
104103breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = 1 β†’ ((1 Β· π‘Œ) < 0 ↔ (1 Β· 1) < 0))
105102, 104bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = 1 β†’ ((π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (1 β‰  1 ↔ (1 Β· 1) < 0)))
106101, 105mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = 1 β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
107106adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ = 1) β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
10896, 107, 76mpjaodan 958 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ {-1, 1} β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
109108adantr 482 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) β†’ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
110 neeq2 3005 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ π‘Œ β‰  1))
111 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 1 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (1 Β· π‘Œ))
112111breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) < 0 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0))
113110, 112bibi12d 346 . . . . . . 7 (𝑋 = 1 β†’ ((π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0)))
114113adantl 483 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) β†’ ((π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0) ↔ (π‘Œ β‰  1 ↔ (1 Β· π‘Œ) < 0)))
115109, 114mpbird 257 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
11645, 115sylan 581 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) ∧ 𝑋 = 1) β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
117 elpri 4651 . . . . 5 (𝑋 ∈ {-1, 1} β†’ (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118117ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
11985, 116, 118mpjaodan 958 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) ∧ Β¬ π‘Œ = 0) β†’ (π‘Œ β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
12012, 14, 31, 119ifbothda 4567 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (if(π‘Œ = 0, 𝑋, π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
12110, 120bitrd 279 1 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ π‘Œ ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((𝑋 ⨣ π‘Œ) β‰  𝑋 ↔ (𝑋 Β· π‘Œ) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +gcplusg 17197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447
This theorem is referenced by:  signsvfn  33593
  Copyright terms: Public domain W3C validator