Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signswch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signswch 34324
Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsw.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
Assertion
Ref Expression
signswch ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswch
StepHypRef Expression
1 df-pr 4633 . . . . . 6 {-1, 1} = ({-1} ∪ {1})
2 snsstp1 4821 . . . . . . 7 {-1} ⊆ {-1, 0, 1}
3 snsstp3 4823 . . . . . . 7 {1} ⊆ {-1, 0, 1}
42, 3unssi 4183 . . . . . 6 ({-1} ∪ {1}) ⊆ {-1, 0, 1}
51, 4eqsstri 4011 . . . . 5 {-1, 1} ⊆ {-1, 0, 1}
65sseli 3972 . . . 4 (𝑋 ∈ {-1, 1} → 𝑋 ∈ {-1, 0, 1})
7 signsw.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
87signspval 34315 . . . 4 ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
96, 8sylan 578 . . 3 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
109neeq1d 2989 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
11 neeq1 2992 . . . 4 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1211bibi1d 342 . . 3 (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
13 neeq1 2992 . . . 4 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
1413bibi1d 342 . . 3 (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
15 neirr 2938 . . . . 5 ¬ 𝑋𝑋
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑋𝑋)
17 0re 11248 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1817ltnri 11355 . . . . 5 ¬ 0 < 0
19 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
2019oveq2d 7435 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
21 neg1cn 12359 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
22 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
23 prssi 4826 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
2421, 22, 23mp2an 690 . . . . . . . . 9 {-1, 1} ⊆ ℂ
25 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ {-1, 1})
2624, 25sselid 3974 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
2726mul01d 11445 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
2820, 27eqtrd 2765 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
2928breq1d 5159 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ 0 < 0))
3018, 29mtbiri 326 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ (𝑋 · 𝑌) < 0)
3116, 302falsed 375 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
32 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 0, 1})
33 tpcomb 4757 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
3432, 33eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1, 0})
35 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
3635neqned 2936 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
3734, 36jca 510 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
38 eldifsn 4792 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
39 neg1ne0 12361 . . . . . . . . 9 -1 ≠ 0
40 ax-1ne0 11209 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
41 diftpsn3 4807 . . . . . . . . 9 ((-1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1})
4239, 40, 41mp2an 690 . . . . . . . 8 ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1}
4342eleq2i 2817 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4438, 43bitr3i 276 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
4537, 44sylib 217 . . . . 5 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1})
46 neirr 2938 . . . . . . . . . . 11 ¬ -1 ≠ -1
47 0le1 11769 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
48 1re 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
4917, 48lenlti 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
5047, 49mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 < 0
51 neg1mulneg1e1 12458 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · -1) = 1
5251breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · -1) < 0 ↔ 1 < 0)
5350, 52mtbir 322 . . . . . . . . . . 11 ¬ (-1 · -1) < 0
5446, 532false 374 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)
55 neeq1 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ -1 ≠ -1))
56 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · -1))
5756breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · -1) < 0))
5855, 57bibi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)))
5954, 58mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
6059adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
61 neg1rr 12360 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
62 neg1lt0 12362 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
63 0lt1 11768 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6461, 17, 48lttri 11372 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
6562, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 -1 < 1
6661, 65gtneii 11358 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ -1
6721mulridi 11250 . . . . . . . . . . . 12 (-1 · 1) = -1
6867, 62eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . 11 (-1 · 1) < 0
6966, 682th 263 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)
70 neeq1 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
71 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · 1))
7271breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 1) < 0))
7370, 72bibi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)))
7469, 73mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7574adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
76 elpri 4653 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 = -1 ∨ 𝑌 = 1))
7760, 75, 76mpjaodan 956 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
7877adantr 479 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
79 neeq2 2993 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ -1))
80 oveq1 7426 . . . . . . . . 9 (𝑋 = -1 → (𝑋 · 𝑌) = (-1 · 𝑌))
8180breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑋 = -1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
8279, 81bibi12d 344 . . . . . . 7 (𝑋 = -1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8382adantl 480 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
8478, 83mpbird 256 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8545, 84sylan 578 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
8666necomi 2984 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 1
8721, 22mulcomi 11254 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · 1) = (1 · -1)
8887breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 · 1) < 0 ↔ (1 · -1) < 0)
8968, 88mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (1 · -1) < 0
9086, 892th 263 . . . . . . . . . 10 (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)
91 neeq1 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ -1 ≠ 1))
92 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = -1 → (1 · 𝑌) = (1 · -1))
9392breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = -1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · -1) < 0))
9491, 93bibi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)))
9590, 94mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
9695adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
97 neirr 2938 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≠ 1
9822mulridi 11250 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
9998breq1i 5156 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) < 0 ↔ 1 < 0)
10050, 99mtbir 322 . . . . . . . . . . 11 ¬ (1 · 1) < 0
10197, 1002false 374 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)
102 neeq1 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
103 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = 1 → (1 · 𝑌) = (1 · 1))
104103breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = 1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 1) < 0))
105102, 104bibi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)))
106101, 105mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
107106adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
10896, 107, 76mpjaodan 956 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
109108adantr 479 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
110 neeq2 2993 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → (𝑌𝑋𝑌 ≠ 1))
111 oveq1 7426 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 1 → (𝑋 · 𝑌) = (1 · 𝑌))
112111breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑋 = 1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
113110, 112bibi12d 344 . . . . . . 7 (𝑋 = 1 → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
114113adantl 480 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
115109, 114mpbird 256 . . . . 5 ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
11645, 115sylan 578 . . . 4 ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
117 elpri 4653 . . . . 5 (𝑋 ∈ {-1, 1} → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118117ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
11985, 116, 118mpjaodan 956 . . 3 (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12012, 14, 31, 119ifbothda 4568 . 2 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
12110, 120bitrd 278 1 ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941  cun 3942  wss 3944  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  cop 4636   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  -cneg 11477  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  +gcplusg 17236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479
This theorem is referenced by:  signsvfn  34345
  Copyright terms: Public domain W3C validator