Theorem signswch 32585

Description: The zero-skipping operation changes value when the operands change signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsw.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsw.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}

Assertion

Ref	Expression
signswch	⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑎,𝑏)   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signswch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4568	. . . . . 6 ⊢ {-1, 1} = ({-1} ∪ {1})
2		snsstp1 4755	. . . . . . 7 ⊢ {-1} ⊆ {-1, 0, 1}
3		snsstp3 4757	. . . . . . 7 ⊢ {1} ⊆ {-1, 0, 1}
4	2, 3	unssi 4125	. . . . . 6 ⊢ ({-1} ∪ {1}) ⊆ {-1, 0, 1}
5	1, 4	eqsstri 3960	. . . . 5 ⊢ {-1, 1} ⊆ {-1, 0, 1}
6	5	sseli 3922	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 1} → 𝑋 ∈ {-1, 0, 1})
7		signsw.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
8	7	signspval 32576	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 0, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
9	6, 8	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑋 ⨣ 𝑌) = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌))
10	9	neeq1d 3001	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
11		neeq1 3004	. . . 4 ⊢ (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑋 ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
12	11	bibi1d 344	. . 3 ⊢ (𝑋 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑋 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
13		neeq1 3004	. . . 4 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋))
14	13	bibi1d 344	. . 3 ⊢ (𝑌 = if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0)))
15		neirr 2950	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ≠ 𝑋
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑋 ≠ 𝑋)
17		0re 11023	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
18	17	ltnri 11130	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 < 0
19		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
20	19	oveq2d 7323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
21		neg1cn 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
22		ax-1cn 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		prssi 4760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
24	21, 22, 23	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
25		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ {-1, 1})
26	24, 25	sselid 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
27	26	mul01d 11220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
28	20, 27	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
29	28	breq1d 5091	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ 0 < 0))
30	18, 29	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → ¬ (𝑋 · 𝑌) < 0)
31	16, 30	2falsed 377	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
32		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 0, 1})
33		tpcomb 4691	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
34	32, 33	eleqtrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1, 0})
35		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → ¬ 𝑌 = 0)
36	35	neqned 2948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
37	34, 36	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
38		eldifsn 4726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0))
39		neg1ne0 12135	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ≠ 0
40		ax-1ne0 10986	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
41		diftpsn3 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1})
42	39, 40, 41	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) = {-1, 1}
43	42	eleq2i 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ ({-1, 1, 0} ∖ {0}) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
44	38, 43	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1, 0} ∧ 𝑌 ≠ 0) ↔ 𝑌 ∈ {-1, 1})
45	37, 44	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ {-1, 1})
46		neirr 2950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ -1 ≠ -1
47		0le1 11544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
48		1re 11021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
49	17, 48	lenlti 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
50	47, 49	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 < 0
51		neg1mulneg1e1 12232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 · -1) = 1
52	51	breq1i 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 · -1) < 0 ↔ 1 < 0)
53	50, 52	mtbir 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (-1 · -1) < 0
54	46, 53	2false 376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)
55		neeq1 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ -1 ≠ -1))
56		oveq2 7315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = -1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · -1))
57	56	breq1d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · -1) < 0))
58	55, 57	bibi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ -1 ↔ (-1 · -1) < 0)))
59	54, 58	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
60	59	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
61		neg1rr 12134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℝ
62		neg1lt0 12136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 < 0
63		0lt1 11543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
64	61, 17, 48	lttri 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
65	62, 63, 64	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 < 1
66	61, 65	gtneii 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ -1
67	21	mulid1i 11025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 · 1) = -1
68	67, 62	eqbrtri 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 · 1) < 0
69	66, 68	2th 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)
70		neeq1 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ 1 ≠ -1))
71		oveq2 7315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = 1 → (-1 · 𝑌) = (-1 · 1))
72	71	breq1d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → ((-1 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 1) < 0))
73	70, 72	bibi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ -1 ↔ (-1 · 1) < 0)))
74	69, 73	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
75	74	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
76		elpri 4587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 = -1 ∨ 𝑌 = 1))
77	60, 75, 76	mpjaodan 957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
78	77	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
79		neeq2 3005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = -1 → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ 𝑌 ≠ -1))
80		oveq1 7314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = -1 → (𝑋 · 𝑌) = (-1 · 𝑌))
81	80	breq1d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = -1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (-1 · 𝑌) < 0))
82	79, 81	bibi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = -1 → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
83	82	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ -1 ↔ (-1 · 𝑌) < 0)))
84	78, 83	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
85	45, 84	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = -1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
86	66	necomi 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ≠ 1
87	21, 22	mulcomi 11029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 · 1) = (1 · -1)
88	87	breq1i 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 · 1) < 0 ↔ (1 · -1) < 0)
89	68, 88	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · -1) < 0
90	86, 89	2th 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)
91		neeq1 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ -1 ≠ 1))
92		oveq2 7315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = -1 → (1 · 𝑌) = (1 · -1))
93	92	breq1d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = -1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · -1) < 0))
94	91, 93	bibi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = -1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (-1 ≠ 1 ↔ (1 · -1) < 0)))
95	90, 94	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = -1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
96	95	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = -1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
97		neirr 2950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
98	22	mulid1i 11025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 1) = 1
99	98	breq1i 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 1) < 0 ↔ 1 < 0)
100	50, 99	mtbir 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 · 1) < 0
101	97, 100	2false 376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)
102		neeq1 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
103		oveq2 7315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 = 1 → (1 · 𝑌) = (1 · 1))
104	103	breq1d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 = 1 → ((1 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 1) < 0))
105	102, 104	bibi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 = 1 → ((𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0) ↔ (1 ≠ 1 ↔ (1 · 1) < 0)))
106	101, 105	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 = 1 → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
107	106	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
108	96, 107, 76	mpjaodan 957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ {-1, 1} → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
109	108	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
110		neeq2 3005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 1 → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ 𝑌 ≠ 1))
111		oveq1 7314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 1 → (𝑋 · 𝑌) = (1 · 𝑌))
112	111	breq1d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 1 → ((𝑋 · 𝑌) < 0 ↔ (1 · 𝑌) < 0))
113	110, 112	bibi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 1 → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
114	113	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → ((𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0) ↔ (𝑌 ≠ 1 ↔ (1 · 𝑌) < 0)))
115	109, 114	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
116	45, 115	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) ∧ 𝑋 = 1) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
117		elpri 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {-1, 1} → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
118	117	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑋 = -1 ∨ 𝑋 = 1))
119	85, 116, 118	mpjaodan 957	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
120	12, 14, 31, 119	ifbothda 4503	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → (if(𝑌 = 0, 𝑋, 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))
121	10, 120	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑋 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑌 ∈ {-1, 0, 1}) → ((𝑋 ⨣ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ (𝑋 · 𝑌) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3889   ∪ cun 3890   ⊆ wss 3892  ifcif 4465  {csn 4565  {cpr 4567  {ctp 4569  ⟨cop 4571   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309  ℂcc 10915  0cc0 10917  1c1 10918   · cmul 10922   < clt 11055   ≤ cle 11056  -cneg 11252  ndxcnx 16939  Basecbs 16957  +_gcplusg 17007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254

This theorem is referenced by:  signsvfn  32606