Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signstfvcl 33401
Description: Closure of the zero skipping sign in case the first letter is not zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvcl (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ {-1, 1})
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,π‘Ž,𝑇,𝑏
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signstfvcl
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
21eldifad 3955 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 signsv.p . . . . 5 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
4 signsv.w . . . . 5 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
5 signsv.t . . . . 5 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
6 signsv.v . . . . 5 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
73, 4, 5, 6signstcl 33393 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ {-1, 0, 1})
82, 7sylancom 588 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ {-1, 0, 1})
93, 4, 5, 6signstfvneq0 33400 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) β‰  0)
10 eldifsn 4782 . . 3 (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ ({-1, 0, 1} βˆ– {0}) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ {-1, 0, 1} ∧ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) β‰  0))
118, 9, 10sylanbrc 583 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ ({-1, 0, 1} βˆ– {0}))
12 tpcomb 4747 . . . 4 {-1, 0, 1} = {-1, 1, 0}
1312difeq1i 4113 . . 3 ({-1, 0, 1} βˆ– {0}) = ({-1, 1, 0} βˆ– {0})
14 neg1ne0 12309 . . . 4 -1 β‰  0
15 ax-1ne0 11160 . . . 4 1 β‰  0
16 diftpsn3 4797 . . . 4 ((-1 β‰  0 ∧ 1 β‰  0) β†’ ({-1, 1, 0} βˆ– {0}) = {-1, 1})
1714, 15, 16mp2an 690 . . 3 ({-1, 1, 0} βˆ– {0}) = {-1, 1}
1813, 17eqtri 2759 . 2 ({-1, 0, 1} βˆ– {0}) = {-1, 1}
1911, 18eleqtrdi 2842 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) ∈ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3940  βˆ…c0 4317  ifcif 4521  {csn 4621  {cpr 4623  {ctp 4625  βŸ¨cop 4627   ↦ cmpt 5223  β€˜cfv 6531  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  β„cr 11090  0cc0 11091  1c1 11092   βˆ’ cmin 11425  -cneg 11426  ...cfz 13465  ..^cfzo 13608  β™―chash 14271  Word cword 14445  sgncsgn 15014  Ξ£csu 15613  ndxcnx 17107  Basecbs 17125  +gcplusg 17178   Ξ£g cgsu 17367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-supp 8128  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9486  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12454  df-xnn0 12526  df-z 12540  df-uz 12804  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-seq 13948  df-hash 14272  df-word 14446  df-lsw 14494  df-concat 14502  df-s1 14527  df-substr 14572  df-pfx 14602  df-sgn 15015  df-struct 17061  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-plusg 17191  df-0g 17368  df-gsum 17369  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-mulg 18922  df-cntz 19146
This theorem is referenced by:  signsvfn  33410  signlem0  33415
  Copyright terms: Public domain W3C validator