Theorem signstfvcl 35285

Description: Closure of the zero skipping sign in case the first letter is not zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfvcl	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ { -1, 1})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑎,𝑇,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑓, 𝑖, 𝑗)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑓, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signstfvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		signsv.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ { -1, 0, 1}, 𝑏 ∈ { -1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
4		signsv.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), { -1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
5		signsv.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
6		signsv.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
7	3, 4, 5, 6	signstcl 35277	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ { -1, 0, 1})
8	2, 7	sylancom 600	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ { -1, 0, 1})
9	3, 4, 5, 6	signstfvneq0 35284	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
10		eldifsn 4748	. . 3 ⊢ (((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ ({ -1, 0, 1} ∖ {0}) ↔ (((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ { -1, 0, 1} ∧ ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
11	8, 9, 10	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ ({ -1, 0, 1} ∖ {0}))
12		tpcomb 4712	. . . 4 ⊢ { -1, 0, 1} = { -1, 1, 0}
13	12	difeq1i 4062	. . 3 ⊢ ({ -1, 0, 1} ∖ {0}) = ({ -1, 1, 0} ∖ {0})
14		neg1ne0 12337	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
15		ax-1ne0 11299	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
16		diftpsn3 4765	. . . 4 ⊢ (( -1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 0) → ({ -1, 1, 0} ∖ {0}) = { -1, 1})
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({ -1, 1, 0} ∖ {0}) = { -1, 1}
18	13, 17	eqtri 2786	. 2 ⊢ ({ -1, 0, 1} ∖ {0}) = { -1, 1}
19	11, 18	eleqtrdi 2874	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ { -1, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   − cmin 11571   -cneg 11572  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688  sgncsgn 15271  Σcsu 15885  ndxcnx 17403  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460   Σ_g cgsu 17643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-sgn 15272  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mulg 19310  df-cntz 19564

This theorem is used by:  signsvfn  35294  signlem0  35299