Theorem disj3 4419

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disj3	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵))

Proof of Theorem disj3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.71 557	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
2		eldif 3926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	2	bibi2i 337	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
5	4	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
6		disj1 4417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		dfcleq 2723	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3913   ∩ cin 3915  ∅c0 4298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-v 3452  df-dif 3919  df-in 3923  df-nul 4299

This theorem is referenced by:  disjel  4422  disj4  4424  uneqdifeq  4458  difprsn1  4766  diftpsn3  4768  ssunsn2  4793  orddif  6432  php  9176  hartogslem1  9501  infeq5i  9595  cantnfp1lem3  9639  dju1dif  10132  infdju1  10149  ssxr  11249  dprd2da  19980  dmdprdsplit2lem  19983  ablfac1eulem  20010  lbsextlem4  21077  opsrtoslem2  21969  alexsublem  23937  volun  25452  lhop1lem  25924  ex-dif  30358  difeq  32453  imadifxp  32536  disjdsct  32632  fzodif1  32721  carsgclctunlem1  34314  probun  34416  ballotlemfp1  34489  bj-disj2r  37011  topdifinfeq  37333  finixpnum  37594  lindsadd  37602  poimirlem11  37620  poimirlem12  37621  poimirlem13  37622  poimirlem14  37623  poimirlem16  37625  poimirlem18  37627  poimirlem21  37630  poimirlem22  37631  poimirlem27  37636  asindmre  37692  kelac2  43047  pwfi2f1o  43078  iccdifioo  45506  iccdifprioo  45507