Theorem disj3 4406

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
disj3	⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵))

Proof of Theorem disj3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.71 567	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
2		eldif 4048	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	2	bibi2i 340	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
5	4	albii 1851	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
6		disj1 4404	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐵))
7		dfcleq 2753	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)))
8	5, 6, 7	3bitr4i 306	1 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴 ∖ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  ∅c0 4277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-v 3452  df-dif 4046  df-in 4090  df-nul 4278

This theorem is used by:  disjel  4409  disj4  4411  uneqdifeq  4447  difprsn1  4759  diftpsn3  4761  ssunsn2  4782  orddif  6463  php  9227  hartogslem1  9541  infeq5i  9642  cantnfp1lem3  9686  dju1dif  10256  infdju1  10273  ssxr  11384  dprd2da  20265  dmdprdsplit2lem  20268  ablfac1eulem  20295  lbsextlem4  21446  opsrtoslem2  22372  alexsublem  24370  volun  25873  lhop1lem  26340  ex-dif  31031  difeq  33163  imadifxp  33244  disjdsct  33345  fzodif1  33432  carsgclctunlem1  34997  probun  35099  ballotlemfp1  35172  bj-disj2r  38035  topdifinfeq  38380  finixpnum  38635  lindsadd  38643  poimirlem11  38656  poimirlem12  38657  poimirlem13  38658  poimirlem14  38659  poimirlem16  38661  poimirlem18  38663  poimirlem21  38666  poimirlem22  38667  poimirlem27  38672  asindmre  38728  kelac2  44174  pwfi2f1o  44205  iccdifioo  46634  iccdifprioo  46635