Theorem dmcnvepres 39139

Description: Domain of the restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmcnvepres	⊢ dom (◡ E ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmcnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 6005	. 2 ⊢ dom (◡ E ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom ◡ E )
2		dmcnvep 39137	. . 3 ⊢ dom ◡ E = (V ∖ {∅})
3	2	ineq2i 4163	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ dom ◡ E ) = (𝐴 ∩ (V ∖ {∅}))
4		invdif 4225	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {∅})) = (𝐴 ∖ {∅})
5	1, 3, 4	3eqtri 2787	1 ⊢ dom (◡ E ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   E cep 5554  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655   ↾ cres 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-res 5667

This theorem is used by: (None)