Theorem dmcnvepres 38728

Description: Domain of the restricted converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmcnvepres	⊢ dom (◡ E ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmcnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5972	. 2 ⊢ dom (◡ E ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ dom ◡ E )
2		dmcnvep 38726	. . 3 ⊢ dom ◡ E = (V ∖ {∅})
3	2	ineq2i 4158	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ dom ◡ E ) = (𝐴 ∩ (V ∖ {∅}))
4		invdif 4220	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {∅})) = (𝐴 ∖ {∅})
5	1, 3, 4	3eqtri 2764	1 ⊢ dom (◡ E ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568   E cep 5524  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   ↾ cres 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-eprel 5525  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-res 5637

This theorem is referenced by: (None)