Theorem dmxrncnvep 38710

Description: Domain of the range product with converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvep	⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxrn 38708	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∩ dom ◡ E )
2		dmcnvep 38709	. . 3 ⊢ dom ◡ E = (V ∖ {∅})
3	2	ineq2i 4157	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom ◡ E ) = (dom 𝑅 ∩ (V ∖ {∅}))
4		invdif 4219	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ (V ∖ {∅})) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
5	1, 3, 4	3eqtri 2763	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  {csn 4567   E cep 5530  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   ⋉ cxrn 38495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fo 6504  df-fv 6506  df-oprab 7371  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-xrn 38701

This theorem is referenced by:  dmxrnuncnvepres  38713  dmxrncnvepres  38753