Theorem dmxrncnvep 39301

Description: Domain of the range product with converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvep	⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxrn 39299	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∩ dom ◡ E )
2		dmcnvep 39300	. . 3 ⊢ dom ◡ E = (V ∖ {∅})
3	2	ineq2i 4163	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom ◡ E ) = (dom 𝑅 ∩ (V ∖ {∅}))
4		invdif 4225	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ (V ∖ {∅})) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
5	1, 3, 4	3eqtri 2788	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   E cep 5550  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   ⋉ cxrn 39086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-oprab 7422  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-xrn 39292

This theorem is used by:  dmxrnuncnvepres  39304  dmxrncnvepres  39344