Theorem dmxrncnvep 38357

Description: Domain of the range product with converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrncnvep	⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxrn 38355	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∩ dom ◡ E )
2		dmcnvep 38356	. . 3 ⊢ dom ◡ E = (V ∖ {∅})
3	2	ineq2i 4182	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom ◡ E ) = (dom 𝑅 ∩ (V ∖ {∅}))
4		invdif 4244	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ (V ∖ {∅})) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
5	1, 3, 4	3eqtri 2757	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3450   ∖ cdif 3913   ∩ cin 3915  ∅c0 4298  {csn 4591   E cep 5539  ^◡ccnv 5639  dom cdm 5640   ⋉ cxrn 38163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-eprel 5540  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fo 6519  df-fv 6521  df-oprab 7393  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-xrn 38348

This theorem is referenced by:  dmxrncnvepres  38390