Theorem eldmcoss 36503

Description: Elementhood in the domain of cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 29-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmcoss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldmcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss3 36498	. . 3 ⊢ dom ≀ 𝑅 = dom ◡𝑅
2	1	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ dom ◡𝑅)
3		eldmcnv 36407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ◡𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
4	2, 3	syl5bb 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   ≀ ccoss 36260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-coss 36464

This theorem is referenced by:  eldmcoss2  36504  eldm1cossres  36505