Theorem eldmcoss 38449

Description: Elementhood in the domain of cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 29-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmcoss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldmcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss3 38444	. . 3 ⊢ dom ≀ 𝑅 = dom ◡𝑅
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ dom ◡𝑅)
3		eldmcnv 38327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ◡𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))
4	2, 3	bitrid 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ dom ≀ 𝑅 ↔ ∃𝑢 𝑢𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   ≀ ccoss 38169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-coss 38402

This theorem is referenced by:  eldmcoss2  38450  eldm1cossres  38451