Theorem eldm1cossres 39450

Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldm1cossres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmcoss 39448	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵))
2		brres 5977	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
3	2	exbidv 1954	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
4	1, 3	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
5		df-rex 3088	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
6	4, 5	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   ≀ ccoss 39083

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-coss 39401

This theorem is used by:  eldm1cossres2  39451