Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldm1cossres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldm1cossres 37634
Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
eldm1cossres (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres
StepHypRef Expression
1 eldmcoss 37632 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵))
2 brres 5989 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
32exbidv 1923 . . 3 (𝐵𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
41, 3bitrd 278 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
5 df-rex 3070 . 2 (∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵))
64, 5bitr4di 288 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wex 1780  wcel 2105  wrex 3069   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  cres 5679  ccoss 37347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-coss 37585
This theorem is referenced by:  eldm1cossres2  37635
  Copyright terms: Public domain W3C validator