Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldm1cossres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldm1cossres 37786
Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
eldm1cossres (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres
StepHypRef Expression
1 eldmcoss 37784 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵))
2 brres 5978 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
32exbidv 1916 . . 3 (𝐵𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
41, 3bitrd 279 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
5 df-rex 3063 . 2 (∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵))
64, 5bitr4di 289 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wex 1773  wcel 2098  wrex 3062   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  cres 5668  ccoss 37499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-coss 37737
This theorem is referenced by:  eldm1cossres2  37787
  Copyright terms: Public domain W3C validator