Theorem eldm1cossres 36505

Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldm1cossres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmcoss 36503	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵))
2		brres 5887	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
3	2	exbidv 1925	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
4	1, 3	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
5		df-rex 3069	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
6	4, 5	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   ≀ ccoss 36260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-coss 36464

This theorem is referenced by:  eldm1cossres2  36506