Theorem eldm1cossres 36578

Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eldm1cossres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmcoss 36576	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵))
2		brres 5898	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
3	2	exbidv 1924	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
4	1, 3	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
5		df-rex 3070	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
6	4, 5	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 𝑢𝑅𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ↾ cres 5591   ≀ ccoss 36333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-coss 36537

This theorem is referenced by:  eldm1cossres2  36579