Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldm1cossres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldm1cossres 36968
Description: Elementhood in the domain of restricted cosets. (Contributed by Peter Mazsa, 30-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
eldm1cossres (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉

Proof of Theorem eldm1cossres
StepHypRef Expression
1 eldmcoss 36966 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵))
2 brres 5945 . . . 4 (𝐵𝑉 → (𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
32exbidv 1925 . . 3 (𝐵𝑉 → (∃𝑢 𝑢(𝑅𝐴)𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
41, 3bitrd 279 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵)))
5 df-rex 3071 . 2 (∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴𝑢𝑅𝐵))
64, 5bitr4di 289 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom ≀ (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑢𝐴 𝑢𝑅𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wrex 3070   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  cres 5636  ccoss 36680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-coss 36919
This theorem is referenced by:  eldm1cossres2  36969
  Copyright terms: Public domain W3C validator