Theorem eldmres 36408

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem eldmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5807	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
2		brres 5898	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦)))
3	2	elv 3438	. . . 4 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
4	3	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
5		19.42v 1957	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
6	4, 5	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
7	1, 6	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ↾ cres 5591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599  df-res 5601

This theorem is referenced by:  eldmres2  36410