Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldmres 37442
Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
eldmres (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem eldmres
StepHypRef Expression
1 eldmg 5898 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅𝐴) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑅𝐴)𝑦))
2 brres 5988 . . . . 5 (𝑦 ∈ V → (𝐵(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝐵𝐴𝐵𝑅𝑦)))
32elv 3479 . . . 4 (𝐵(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝐵𝐴𝐵𝑅𝑦))
43exbii 1849 . . 3 (∃𝑦 𝐵(𝑅𝐴)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝐵𝐴𝐵𝑅𝑦))
5 19.42v 1956 . . 3 (∃𝑦(𝐵𝐴𝐵𝑅𝑦) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
64, 5bitri 275 . 2 (∃𝑦 𝐵(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
71, 6bitrdi 287 1 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅𝐴) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wex 1780  wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  cres 5678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dm 5686  df-res 5688
This theorem is referenced by:  eldmressnALTV  37444  eldmres2  37447
  Copyright terms: Public domain W3C validator