Theorem eldmres 37138

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem eldmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5899	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
2		brres 5989	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦)))
3	2	elv 3481	. . . 4 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
4	3	exbii 1851	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
5		19.42v 1958	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
6	4, 5	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
7	1, 6	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ↾ cres 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687  df-res 5689

This theorem is referenced by:  eldmressnALTV  37140  eldmres2  37143