Theorem eldmres 39400

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem eldmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5886	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
2		brres 5987	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦)))
3	2	elv 3459	. . . 4 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
4	3	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
5		19.42v 1988	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
6	4, 5	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
7	1, 6	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   ↾ cres 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-dm 5665  df-res 5667

This theorem is used by:  eldmressnALTV  39402  eldmres2  39405  eldmxrncnvepres2  39558