Theorem eldmres 38230

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem eldmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5889	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
2		brres 5984	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦)))
3	2	elv 3468	. . . 4 ⊢ (𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
4	3	exbii 1847	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦))
5		19.42v 1952	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵𝑅𝑦) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
6	4, 5	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑦 𝐵(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦))
7	1, 6	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝐵𝑅𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   class class class wbr 5123  dom cdm 5665   ↾ cres 5667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5124  df-opab 5186  df-xp 5671  df-dm 5675  df-res 5677

This theorem is referenced by:  eldmressnALTV  38232  eldmres2  38235