Theorem tskmcl 10965

Description: A Tarski class that contains 𝐴 is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tskmcl	⊢ (tarskiMap‘𝐴) ∈ Tarski

Proof of Theorem tskmcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tskmval 10963	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (tarskiMap‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥})
2		ssrab2 4008	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ⊆ Tarski
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4		grothtsk 10959	. . . . . . 7 ⊢ ∪ Tarski = V
5	3, 4	eleqtrrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ ∪ Tarski)
6		eluni2 4876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑥 ∈ Tarski 𝐴 ∈ 𝑥)
7	5, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 ∈ Tarski 𝐴 ∈ 𝑥)
8		rabn0 4342	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ Tarski 𝐴 ∈ 𝑥)
9	7, 8	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ≠ ∅)
10		inttsk 10898	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ⊆ Tarski ∧ {𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ∈ Tarski)
11	2, 9, 10	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∩ {𝑥 ∈ Tarski ∣ 𝐴 ∈ 𝑥} ∈ Tarski)
12	1, 11	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (tarskiMap‘𝐴) ∈ Tarski)
13		fvprc 6908	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (tarskiMap‘𝐴) = ∅)
14		0tsk 10879	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Tarski
15	13, 14	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (tarskiMap‘𝐴) ∈ Tarski)
16	12, 15	pm2.61i 184	1 ⊢ (tarskiMap‘𝐴) ∈ Tarski

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912  ‘cfv 6566  Tarskictsk 10872  tarskiMapctskm 10961

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-groth 10947

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-tsk 10873  df-tskm 10962

This theorem is used by:  eltskm  10967