Theorem grothprim 10807

Description: The Tarski-Grothendieck Axiom ax-groth 10796 expanded into set theory primitives using 163 symbols (allowing the defined symbols ∧, ∨, ↔, and ∃). An open problem is whether a shorter equivalent exists (when expanded to primitives). (Contributed by NM, 16-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
grothprim	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,ℎ,𝑔

Proof of Theorem grothprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth4 10805	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		3anass 1109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
3		df-ss 3924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧))
4		elin 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣) ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))
5	3, 4	imbi12i 353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ (∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
6	5	albii 1842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
7	6	rexbii 3112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
8		df-rex 3090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))))
9	7, 8	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))))
10	9	ralbii 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))))
11		df-ral 3080	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣))) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))))
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))))
13		df-ss 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ⊆ 𝑦 ↔ ∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦))
14		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	difexi 5291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∖ 𝑧) ∈ V
16		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		disjdifr 4430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∖ 𝑧) ∩ 𝑧) = ∅
18	15, 16, 17	brdom6disj 10504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑤(∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤))
19	18	orbi1i 926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑤(∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
20		19.44v 2021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∃𝑤(∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
21	19, 20	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
22	13, 21	imbi12i 353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
23		19.35 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (∀𝑤(𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ∃𝑤((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
24	22, 23	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25		grothprimlem 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))))
26	25	mobii 2578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∃*𝑢∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))))
27		dfmo 2570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃*𝑢∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) ↔ ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡))
28	26, 27	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡))
29	28	ralbii 3111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡))
30		df-ral 3080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡) ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)))
31	29, 30	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)))
32		df-ral 3080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤))
33		eldif 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑧))
34		grothprimlem 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))
35	34	rexbii 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑧 ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))
36		df-rex 3090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑧 ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))
37	35, 36	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))
38	33, 37	imbi12i 353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ ((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑧) → ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))
39		pm5.6 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ¬ 𝑣 ∈ 𝑧) → ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
40	38, 39	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
41	40	albii 1842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧) → ∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
42	32, 41	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤 ↔ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣)))))))
43	31, 42	anbi12i 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ (∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))))
44		19.26 1893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ↔ (∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ ∀𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))))
45	43, 44	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ↔ ∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))))
46	45	orbi1i 926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))
47	46	imbi2i 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
48	47	exbii 1871	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → ((∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃*𝑢{𝑣, 𝑢} ∈ 𝑤 ∧ ∀𝑣 ∈ (𝑦 ∖ 𝑧)∃𝑢 ∈ 𝑧 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝑤) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
49	24, 48	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
50	49	albii 1842	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
51	12, 50	anbi12i 639	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∀𝑧∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
52		19.26 1893	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (∀𝑧(𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∀𝑧∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
53	51, 52	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
54	53	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
55	2, 54	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
56	55	exbii 1871	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∃𝑣 ∈ 𝑦 ∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ (𝑦 ∩ 𝑣)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))))
57	1, 56	mpbi 233	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑧 ∈ 𝑦 → ∃𝑣(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑤(∀𝑢(𝑢 ∈ 𝑤 → 𝑢 ∈ 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))) ∧ ∃𝑤((𝑤 ∈ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) → (∀𝑣((𝑣 ∈ 𝑧 → ∃𝑡∀𝑢(∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑣 ∨ ℎ = 𝑢))) → 𝑢 = 𝑡)) ∧ (𝑣 ∈ 𝑦 → (𝑣 ∈ 𝑧 ∨ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑤 ∧ ∀ℎ(ℎ ∈ 𝑔 ↔ (ℎ = 𝑢 ∨ ℎ = 𝑣))))))) ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101  ∀wal 1561  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2567  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  {cpr 4587   class class class wbr 5105   ≼ cdom 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-ac2 10435  ax-groth 10796

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088

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