Theorem inaprc 10592

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	⊢ Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3925	. . . 4 ⊢ Inacc ⊆ On
5		ssorduni 7629	. . . 4 ⊢ (Inacc ⊆ On → Ord ∪ Inacc)
6		ordsson 7633	. . . 4 ⊢ (Ord ∪ Inacc → ∪ Inacc ⊆ On)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∪ Inacc ⊆ On
8		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		grothtsk 10591	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ Tarski = V
10	8, 9	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ Tarski
11		eluni2 4843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤)
12	10, 11	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤
13		ne0i 4268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅)
14		tskcard 10537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
15	13, 14	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
16		tsksdom 10512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≺ 𝑤)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ≺ 𝑤)
18		tskwe2 10529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
20		cardsdomel 9732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
21	19, 20	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
22	17, 21	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
23		eleq2 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
24	23	rspcev 3561	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
25	15, 22, 24	syl2an2 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
26	25	rexlimdvaa 3214	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
27	12, 26	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28		eluni2 4843	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
29	27, 28	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 ∈ ∪ Inacc)
30	29	ssriv 3925	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ Inacc
31	7, 30	eqssi 3937	. 2 ⊢ ∪ Inacc = On
32		ssonprc 7637	. . 3 ⊢ (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On))
33	4, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On)
34	31, 33	mpbir 230	1 ⊢ Inacc ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Ord word 6265  Oncon0 6266  ‘cfv 6433   ≺ csdm 8732  cardccrd 9693  Inacc_wcwina 10438  Inacccina 10439  Tarskictsk 10504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219  ax-groth 10579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-smo 8177  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-har 9316  df-r1 9522  df-card 9697  df-aleph 9698  df-cf 9699  df-acn 9700  df-ac 9872  df-wina 10440  df-ina 10441  df-tsk 10505

This theorem is referenced by:  inaex  41915