Theorem inaprc 10831

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	⊢ Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10685	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10683	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3944	. . . 4 ⊢ Inacc ⊆ On
5		ssorduni 7780	. . . 4 ⊢ (Inacc ⊆ On → Ord ∪ Inacc)
6		ordsson 7784	. . . 4 ⊢ (Ord ∪ Inacc → ∪ Inacc ⊆ On)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∪ Inacc ⊆ On
8		vex 3462	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		grothtsk 10830	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ Tarski = V
10	8, 9	eleqtrri 2865	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ Tarski
11		eluni2 4879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤)
12	10, 11	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤
13		ne0i 4297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅)
14		tskcard 10776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
15	13, 14	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
16		tsksdom 10751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≺ 𝑤)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ≺ 𝑤)
18		tskwe2 10768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
20		cardsdomel 9971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
21	19, 20	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
23		eleq2 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
24	23	rspcev 3584	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
25	15, 22, 24	syl2an2 699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
26	25	rexlimdvaa 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
27	12, 26	mpi 21	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28		eluni2 4879	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
29	27, 28	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 ∈ ∪ Inacc)
30	29	ssriv 3944	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ Inacc
31	7, 30	eqssi 3956	. 2 ⊢ ∪ Inacc = On
32		ssonprc 7788	. . 3 ⊢ (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On))
33	4, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On)
34	31, 33	mpbir 234	1 ⊢ Inacc ∉ V

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∉ wnel 3067  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ∪ cuni 4875   class class class wbr 5112  dom cdm 5664  Ord word 6363  Oncon0 6364  ‘cfv 6540   ≺ csdm 8944  cardccrd 9932  Inacc_wcwina 10677  Inacccina 10678  Tarskictsk 10743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-ac2 10457  ax-groth 10818

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-smo 8335  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9474  df-har 9521  df-r1 9738  df-card 9936  df-aleph 9937  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10111  df-wina 10679  df-ina 10680  df-tsk 10744

This theorem is used by:  inaex  45039