Theorem inaprc 10730

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	⊢ Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10584	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10582	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3939	. . . 4 ⊢ Inacc ⊆ On
5		ssorduni 7715	. . . 4 ⊢ (Inacc ⊆ On → Ord ∪ Inacc)
6		ordsson 7719	. . . 4 ⊢ (Ord ∪ Inacc → ∪ Inacc ⊆ On)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∪ Inacc ⊆ On
8		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		grothtsk 10729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ Tarski = V
10	8, 9	eleqtrri 2827	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ Tarski
11		eluni2 4862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤)
12	10, 11	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤
13		ne0i 4292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅)
14		tskcard 10675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
15	13, 14	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
16		tsksdom 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≺ 𝑤)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ≺ 𝑤)
18		tskwe2 10667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
20		cardsdomel 9870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
21	19, 20	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
23		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
24	23	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
25	15, 22, 24	syl2an2 686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
26	25	rexlimdvaa 3131	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
27	12, 26	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28		eluni2 4862	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 ∈ ∪ Inacc)
30	29	ssriv 3939	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ Inacc
31	7, 30	eqssi 3952	. 2 ⊢ ∪ Inacc = On
32		ssonprc 7723	. . 3 ⊢ (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On))
33	4, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On)
34	31, 33	mpbir 231	1 ⊢ Inacc ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  Ord word 6306  Oncon0 6307  ‘cfv 6482   ≺ csdm 8871  cardccrd 9831  Inacc_wcwina 10576  Inacccina 10577  Tarskictsk 10642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-groth 10717

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-smo 8269  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-oi 9402  df-har 9449  df-r1 9660  df-card 9835  df-aleph 9836  df-cf 9837  df-acn 9838  df-ac 10010  df-wina 10578  df-ina 10579  df-tsk 10643

This theorem is referenced by:  inaex  44280