MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaprc 10780
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc Inacc βˆ‰ V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 10634 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ Inacc β†’ π‘₯ ∈ Inaccw)
2 winaon 10632 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ Inaccw β†’ π‘₯ ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Inacc β†’ π‘₯ ∈ On)
43ssriv 3952 . . . 4 Inacc βŠ† On
5 ssorduni 7717 . . . 4 (Inacc βŠ† On β†’ Ord βˆͺ Inacc)
6 ordsson 7721 . . . 4 (Ord βˆͺ Inacc β†’ βˆͺ Inacc βŠ† On)
74, 5, 6mp2b 10 . . 3 βˆͺ Inacc βŠ† On
8 vex 3451 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
9 grothtsk 10779 . . . . . . . 8 βˆͺ Tarski = V
108, 9eleqtrri 2833 . . . . . . 7 𝑦 ∈ βˆͺ Tarski
11 eluni2 4873 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ Tarski ↔ βˆƒπ‘€ ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑀)
1210, 11mpbi 229 . . . . . 6 βˆƒπ‘€ ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑀
13 ne0i 4298 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
14 tskcard 10725 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (cardβ€˜π‘€) ∈ Inacc)
1513, 14sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (cardβ€˜π‘€) ∈ Inacc)
16 tsksdom 10700 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ 𝑦 β‰Ί 𝑀)
1716adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 β‰Ί 𝑀)
18 tskwe2 10717 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Tarski β†’ 𝑀 ∈ dom card)
1918adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ dom card)
20 cardsdomel 9918 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑀 ∈ dom card) β†’ (𝑦 β‰Ί 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)))
2119, 20sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (𝑦 β‰Ί 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€))
23 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (cardβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)))
2423rspcev 3583 . . . . . . . 8 (((cardβ€˜π‘€) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
2515, 22, 24syl2an2 685 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
2625rexlimdvaa 3150 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
2712, 26mpi 20 . . . . 5 (𝑦 ∈ On β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28 eluni2 4873 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ Inacc ↔ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
2927, 28sylibr 233 . . . 4 (𝑦 ∈ On β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ Inacc)
3029ssriv 3952 . . 3 On βŠ† βˆͺ Inacc
317, 30eqssi 3964 . 2 βˆͺ Inacc = On
32 ssonprc 7726 . . 3 (Inacc βŠ† On β†’ (Inacc βˆ‰ V ↔ βˆͺ Inacc = On))
334, 32ax-mp 5 . 2 (Inacc βˆ‰ V ↔ βˆͺ Inacc = On)
3431, 33mpbir 230 1 Inacc βˆ‰ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  Ord word 6320  Oncon0 6321  β€˜cfv 6500   β‰Ί csdm 8888  cardccrd 9879  Inaccwcwina 10626  Inacccina 10627  Tarskictsk 10692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-groth 10767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-smo 8296  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-har 9501  df-r1 9708  df-card 9883  df-aleph 9884  df-cf 9885  df-acn 9886  df-ac 10060  df-wina 10628  df-ina 10629  df-tsk 10693
This theorem is referenced by:  inaex  42669
  Copyright terms: Public domain W3C validator