MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inaprc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inaprc 10830
Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inaprc Inacc βˆ‰ V

Proof of Theorem inaprc
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 10684 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ Inacc β†’ π‘₯ ∈ Inaccw)
2 winaon 10682 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ Inaccw β†’ π‘₯ ∈ On)
31, 2syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Inacc β†’ π‘₯ ∈ On)
43ssriv 3986 . . . 4 Inacc βŠ† On
5 ssorduni 7765 . . . 4 (Inacc βŠ† On β†’ Ord βˆͺ Inacc)
6 ordsson 7769 . . . 4 (Ord βˆͺ Inacc β†’ βˆͺ Inacc βŠ† On)
74, 5, 6mp2b 10 . . 3 βˆͺ Inacc βŠ† On
8 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
9 grothtsk 10829 . . . . . . . 8 βˆͺ Tarski = V
108, 9eleqtrri 2832 . . . . . . 7 𝑦 ∈ βˆͺ Tarski
11 eluni2 4912 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ Tarski ↔ βˆƒπ‘€ ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑀)
1210, 11mpbi 229 . . . . . 6 βˆƒπ‘€ ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑀
13 ne0i 4334 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑀 β†’ 𝑀 β‰  βˆ…)
14 tskcard 10775 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (cardβ€˜π‘€) ∈ Inacc)
1513, 14sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ (cardβ€˜π‘€) ∈ Inacc)
16 tsksdom 10750 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ 𝑦 β‰Ί 𝑀)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 β‰Ί 𝑀)
18 tskwe2 10767 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ Tarski β†’ 𝑀 ∈ dom card)
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ dom card)
20 cardsdomel 9968 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑀 ∈ dom card) β†’ (𝑦 β‰Ί 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)))
2119, 20sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ (𝑦 β‰Ί 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€))
23 eleq2 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (cardβ€˜π‘€) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)))
2423rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((cardβ€˜π‘€) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (cardβ€˜π‘€)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
2515, 22, 24syl2an2 684 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑀 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
2625rexlimdvaa 3156 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
2712, 26mpi 20 . . . . 5 (𝑦 ∈ On β†’ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28 eluni2 4912 . . . . 5 (𝑦 ∈ βˆͺ Inacc ↔ βˆƒπ‘§ ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
2927, 28sylibr 233 . . . 4 (𝑦 ∈ On β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ Inacc)
3029ssriv 3986 . . 3 On βŠ† βˆͺ Inacc
317, 30eqssi 3998 . 2 βˆͺ Inacc = On
32 ssonprc 7774 . . 3 (Inacc βŠ† On β†’ (Inacc βˆ‰ V ↔ βˆͺ Inacc = On))
334, 32ax-mp 5 . 2 (Inacc βˆ‰ V ↔ βˆͺ Inacc = On)
3431, 33mpbir 230 1 Inacc βˆ‰ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Ord word 6363  Oncon0 6364  β€˜cfv 6543   β‰Ί csdm 8937  cardccrd 9929  Inaccwcwina 10676  Inacccina 10677  Tarskictsk 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-groth 10817
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-smo 8345  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-r1 9758  df-card 9933  df-aleph 9934  df-cf 9935  df-acn 9936  df-ac 10110  df-wina 10678  df-ina 10679  df-tsk 10743
This theorem is referenced by:  inaex  43046
  Copyright terms: Public domain W3C validator