Theorem inaprc 10905

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	⊢ Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10759	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10757	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 4012	. . . 4 ⊢ Inacc ⊆ On
5		ssorduni 7814	. . . 4 ⊢ (Inacc ⊆ On → Ord ∪ Inacc)
6		ordsson 7818	. . . 4 ⊢ (Ord ∪ Inacc → ∪ Inacc ⊆ On)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∪ Inacc ⊆ On
8		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		grothtsk 10904	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ Tarski = V
10	8, 9	eleqtrri 2843	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ Tarski
11		eluni2 4935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤)
12	10, 11	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤
13		ne0i 4364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅)
14		tskcard 10850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
15	13, 14	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
16		tsksdom 10825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≺ 𝑤)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ≺ 𝑤)
18		tskwe2 10842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
20		cardsdomel 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
21	19, 20	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
23		eleq2 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
24	23	rspcev 3635	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
25	15, 22, 24	syl2an2 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
26	25	rexlimdvaa 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
27	12, 26	mpi 20	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28		eluni2 4935	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
29	27, 28	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 ∈ ∪ Inacc)
30	29	ssriv 4012	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ Inacc
31	7, 30	eqssi 4025	. 2 ⊢ ∪ Inacc = On
32		ssonprc 7823	. . 3 ⊢ (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On))
33	4, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On)
34	31, 33	mpbir 231	1 ⊢ Inacc ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∉ wnel 3052  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Ord word 6394  Oncon0 6395  ‘cfv 6573   ≺ csdm 9002  cardccrd 10004  Inacc_wcwina 10751  Inacccina 10752  Tarskictsk 10817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532  ax-groth 10892

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-smo 8402  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-oi 9579  df-har 9626  df-r1 9833  df-card 10008  df-aleph 10009  df-cf 10010  df-acn 10011  df-ac 10185  df-wina 10753  df-ina 10754  df-tsk 10818

This theorem is referenced by:  inaex  44266