Theorem inaprc 10820

Description: An equivalent to the Tarski-Grothendieck Axiom: there is a proper class of inaccessible cardinals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inaprc	⊢ Inacc ∉ V

Proof of Theorem inaprc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10674	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10672	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3940	. . . 4 ⊢ Inacc ⊆ On
5		ssorduni 7777	. . . 4 ⊢ (Inacc ⊆ On → Ord ∪ Inacc)
6		ordsson 7781	. . . 4 ⊢ (Ord ∪ Inacc → ∪ Inacc ⊆ On)
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∪ Inacc ⊆ On
8		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		grothtsk 10819	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ Tarski = V
10	8, 9	eleqtrri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ ∪ Tarski
11		eluni2 4875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Tarski ↔ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤)
12	10, 11	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤
13		ne0i 4293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → 𝑤 ≠ ∅)
14		tskcard 10765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
15	13, 14	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (card‘𝑤) ∈ Inacc)
16		tsksdom 10740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑦 ≺ 𝑤)
17	16	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ≺ 𝑤)
18		tskwe2 10757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ Tarski → 𝑤 ∈ dom card)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → 𝑤 ∈ dom card)
20		cardsdomel 9959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ dom card) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
21	19, 20	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → (𝑦 ≺ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (card‘𝑤))
23		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (card‘𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)))
24	23	rspcev 3580	. . . . . . . 8 ⊢ (((card‘𝑤) ∈ Inacc ∧ 𝑦 ∈ (card‘𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
25	15, 22, 24	syl2an2 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ (𝑤 ∈ Tarski ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
26	25	rexlimdvaa 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (∃𝑤 ∈ Tarski 𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧))
27	12, 26	mpi 21	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
28		eluni2 4875	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ Inacc ↔ ∃𝑧 ∈ Inacc 𝑦 ∈ 𝑧)
29	27, 28	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → 𝑦 ∈ ∪ Inacc)
30	29	ssriv 3940	. . 3 ⊢ On ⊆ ∪ Inacc
31	7, 30	eqssi 3952	. 2 ⊢ ∪ Inacc = On
32		ssonprc 7785	. . 3 ⊢ (Inacc ⊆ On → (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On))
33	4, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Inacc ∉ V ↔ ∪ Inacc = On)
34	31, 33	mpbir 234	1 ⊢ Inacc ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∉ wnel 3062  ∃wrex 3087  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5108  dom cdm 5661  Ord word 6359  Oncon0 6360  ‘cfv 6536   ≺ csdm 8941  cardccrd 9920  Inacc_wcwina 10666  Inacccina 10667  Tarskictsk 10732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-ac2 10446  ax-groth 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-smo 8332  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-oi 9471  df-har 9518  df-r1 9735  df-card 9924  df-aleph 9925  df-cf 9926  df-acn 9927  df-ac 10099  df-wina 10668  df-ina 10669  df-tsk 10733

This theorem is referenced by:  inaex  44955