Theorem imadisjlnd 40509

Description: Natural deduction form of one negated side of imadisj 5947. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
imadisjlnd.1	⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
imadisjlnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem imadisjlnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadisjlnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
2		imadisj 5947	. . . 4 ⊢ ((𝐴 “ 𝐵) = ∅ ↔ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
3	2	biimpi 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 “ 𝐵) = ∅ → (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
4	3	necon3i 3048	. 2 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 “ 𝐵) ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ≠ wne 3016   ∩ cin 3934  ∅c0 4290  dom cdm 5554   “ cima 5557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5066  df-opab 5128  df-xp 5560  df-cnv 5562  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567

This theorem is referenced by:  wnefimgd  40510