Theorem imadisjlnd 6041

Description: Deduction form of one negated side of imadisj 6040. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
imadisjlnd.1	⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
imadisjlnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem imadisjlnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadisjlnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
2		imadisj 6040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 “ 𝐵) = ∅ ↔ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 “ 𝐵) = ∅ → (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
4	3	necon3i 2957	. 2 ⊢ ((dom 𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 “ 𝐵) ≠ ∅)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ≠ wne 2925   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  dom cdm 5631   “ cima 5634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644

This theorem is referenced by:  vonf1owev  35068  weiunfrlem  36425  wnefimgd  44123  grimuhgr  47860