Theorem wnefimgd 44423

Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	1, 3	sseqtrrid 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5		sseqin2 4175	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	6, 7	eqnetrd 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
9	8	imadisjlnd 6040	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ≠ wne 2932   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  dom cdm 5624   “ cima 5627  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  44427  imo72b2lem2  44429  imo72b2lem1  44431  imo72b2  44434