Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wnefimgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wnefimgd 40700
Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wnefimgd.1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
wnefimgd (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd
StepHypRef Expression
1 ssid 3973 . . . . 5 𝐴𝐴
2 wnefimgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
32fdmd 6504 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
41, 3sseqtrrid 4004 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5 sseqin2 4175 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
64, 5sylib 221 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
7 wnefimgd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
86, 7eqnetrd 3080 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
98imadisjlnd 40699 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wne 3013  cin 3917  wss 3918  c0 4274  dom cdm 5536  cima 5539  wf 6332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pr 5311
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-br 5048  df-opab 5110  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-fn 6339  df-f 6340
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  40704  imo72b2lem2  40706  imo72b2lem1  40709  imo72b2  40713
  Copyright terms: Public domain W3C validator