Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wnefimgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wnefimgd 40390
Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wnefimgd.1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
wnefimgd (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd
StepHypRef Expression
1 ssid 3986 . . . . 5 𝐴𝐴
2 wnefimgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
32fdmd 6516 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
41, 3sseqtrrid 4017 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5 sseqin2 4189 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
64, 5sylib 219 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
7 wnefimgd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
86, 7eqnetrd 3080 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
98imadisjlnd 40389 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wne 3013  cin 3932  wss 3933  c0 4288  dom cdm 5548  cima 5551  wf 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-cnv 5556  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fn 6351  df-f 6352
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  40394  imo72b2lem2  40396  imo72b2lem1  40399  imo72b2  40403
  Copyright terms: Public domain W3C validator