Theorem wnefimgd 45161

Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3930	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	1, 3	sseqtrrid 3951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5		sseqin2 4120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	6, 7	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
9	8	imadisjlnd 6077	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  dom cdm 5650   “ cima 5653  ⟶wf 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is used by:  imo72b2lem0  45165  imo72b2lem2  45167  imo72b2lem1  45169  imo72b2  45172