Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wnefimgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wnefimgd 44151
Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
wnefimgd.1 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
wnefimgd (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd
StepHypRef Expression
1 ssid 4018 . . . . 5 𝐴𝐴
2 wnefimgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
32fdmd 6747 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
41, 3sseqtrrid 4049 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5 sseqin2 4231 . . . 4 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
64, 5sylib 218 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) = 𝐴)
7 wnefimgd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
86, 7eqnetrd 3006 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ≠ ∅)
98imadisjlnd 6101 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wne 2938  cin 3962  wss 3963  c0 4339  dom cdm 5689  cima 5692  wf 6559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fn 6566  df-f 6567
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  44155  imo72b2lem2  44157  imo72b2lem1  44159  imo72b2  44162
  Copyright terms: Public domain W3C validator