Theorem wnefimgd 44264

Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3952	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	1, 3	sseqtrrid 3973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5		sseqin2 4170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	6, 7	eqnetrd 2995	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
9	8	imadisjlnd 6029	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ≠ wne 2928   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  dom cdm 5614   “ cima 5617  ⟶wf 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fn 6484  df-f 6485

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  44268  imo72b2lem2  44270  imo72b2lem1  44272  imo72b2  44275