Theorem wnefimgd 41772

Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3943	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	1, 3	sseqtrrid 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5		sseqin2 4149	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	6, 7	eqnetrd 3011	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
9	8	imadisjlnd 41771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ≠ wne 2943   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  dom cdm 5589   “ cima 5592  ⟶wf 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fn 6436  df-f 6437

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  41776  imo72b2lem2  41778  imo72b2lem1  41780  imo72b2  41783