Theorem wnefimgd 39293

Description: The image of a mapping from A is nonempty if A is nonempty. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
wnefimgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
wnefimgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
wnefimgd	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem wnefimgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3848	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		wnefimgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	fdmd 6287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	1, 3	syl5sseqr 3879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
5		sseqin2 4044	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = 𝐴)
7		wnefimgd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	6, 7	eqnetrd 3066	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
9		imadisj 5725	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) = ∅)
10	9	necon3bii 3051	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
11	8, 10	sylibr 226	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ≠ wne 2999   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  dom cdm 5342   “ cima 5345  ⟶wf 6119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pr 5127

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-br 4874  df-opab 4936  df-xp 5348  df-cnv 5350  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-fn 6126  df-f 6127

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  39298  imo72b2lem2  39300  imo72b2lem1  39304  imo72b2  39308