Theorem intexab 5311

Description: The intersection of a nonempty class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexab	⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4337	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
2		intex 5309	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	bitr3i 280	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ∩ cint 4910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-nul 4282  df-int 4911

This theorem is used by:  intexrab  5312  tcmin  9767  cfval  10351  efgval  19961  tz9.1regs  35902  tz9.1ctco  37448  dfttc3gw  37489  relintabex  44774  rclexi  44807  rtrclex  44809  trclexi  44812  rtrclexi  44813  aiotaexb  48364