Theorem intexab 5321

Description: The intersection of a nonempty class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexab	⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4365	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
2		intex 5319	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	bitr3i 277	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2714   ≠ wne 2933  Vcvv 3464  ∅c0 4313  ∩ cint 4927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-int 4928

This theorem is referenced by:  intexrab  5322  tcmin  9760  cfval  10266  efgval  19703  relintabex  43572  rclexi  43606  rtrclex  43608  trclexi  43611  rtrclexi  43612  aiotaexb  47085