Theorem intexab 5306

Description: The intersection of a nonempty class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexab	⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4333	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
2		intex 5304	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	bitr3i 280	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ∩ cint 4906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-nul 4279  df-int 4907

This theorem is used by:  intexrab  5307  tcmin  9740  cfval  10324  efgval  19931  tz9.1regs  35844  tz9.1ctco  37312  dfttc3gw  37353  relintabex  44625  rclexi  44658  rtrclex  44660  trclexi  44663  rtrclexi  44664  aiotaexb  48202