Theorem intexab 5258

Description: The intersection of a nonempty class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexab	⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4311	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
2		intex 5256	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	bitr3i 276	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ∩ cint 4876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-int 4877

This theorem is referenced by:  intexrab  5259  tcmin  9430  cfval  9934  efgval  19238  relintabex  41078  rclexi  41112  rtrclex  41114  trclexi  41117  rtrclexi  41118  aiotaexb  44468