Theorem intexab 5277

Description: The intersection of a nonempty class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexab	⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4316	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
2		intex 5275	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	bitr3i 278	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 207  ∃wex 1782   ∈ wcel 2115  {cab 2714   ≠ wne 2931  Vcvv 3428  ∅c0 4264  ∩ cint 4880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rab 3389  df-v 3430  df-dif 3889  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4265  df-int 4881

This theorem is referenced by:  intexrab  5278  tcmin  9654  cfval  10163  efgval  19686  tz9.1regs  35321  tz9.1ctco  36707  dfttc3gw  36748  relintabex  44022  rclexi  44056  rtrclex  44058  trclexi  44061  rtrclexi  44062  aiotaexb  47549