Theorem intexab 5330

Description: The intersection of a nonempty class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexab	⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4373	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
2		intex 5328	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	bitr3i 277	1 ⊢ (∃𝑥𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2701   ≠ wne 2932  Vcvv 3466  ∅c0 4315  ∩ cint 4941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-int 4942

This theorem is referenced by:  intexrab  5331  tcmin  9733  cfval  10239  efgval  19633  relintabex  42881  rclexi  42915  rtrclex  42917  trclexi  42920  rtrclexi  42921  aiotaexb  46342