Theorem intex 5279

Description: The intersection of a nonempty class exists. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 44 and its converse. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intex	⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem intex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4294	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		intss1 4906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
3		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ssex 5256	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 → ∩ 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
8		vprc 5250	. . . 4 ⊢ ¬ V ∈ V
9		inteq 4893	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
10		int0 4905	. . . . . 6 ⊢ ∩ ∅ = V
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
12	11	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
13	8, 12	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
14	13	necon2ai 2962	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)
15	7, 14	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∩ cint 4890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-int 4891

This theorem is referenced by:  intnex  5280  intexab  5281  iinexg  5283  onint0  7736  onintrab  7741  onmindif2  7752  fival  9316  elfi2  9318  elfir  9319  dffi2  9327  elfiun  9334  fifo  9336  tz9.1c  9640  tz9.12lem1  9700  tz9.12lem3  9702  rankf  9707  cardf2  9856  cardval3  9865  cardid2  9866  cardcf  10163  cflim2  10174  intwun  10647  wuncval  10654  inttsk  10686  intgru  10726  gruina  10730  dfrtrcl2  15013  mremre  17555  mrcval  17565  asplss  21861  aspsubrg  21863  toponmre  23067  subbascn  23228  zarclsint  34037  insiga  34302  sigagenval  34305  sigagensiga  34306  dmsigagen  34309  dfon2lem8  35991  dfon2lem9  35992  bj-snmoore  37438  igenval  38393  pclvalN  40347  elrfi  43137  ismrcd1  43141  mzpval  43175  dmmzp  43176  oninfex2  43688  salgenval  46764  intsal  46773