Theorem intex 5286

Description: The intersection of a nonempty class exists. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 44 and its converse. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intex	⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem intex

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4294	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		intss1 4906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ⊆ 𝑥)
3		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ssex 5263	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 ⊆ 𝑥 → ∩ 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
8		vprc 5256	. . . 4 ⊢ ¬ V ∈ V
9		inteq 4893	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
10		int0 4905	. . . . . 6 ⊢ ∩ ∅ = V
11	9, 10	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
12	11	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
13	8, 12	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
14	13	necon2ai 2962	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)
15	7, 14	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∩ cint 4890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-int 4891

This theorem is referenced by:  intnex  5287  intexab  5288  iinexg  5290  onint0  7745  onintrab  7750  onmindif2  7761  fival  9325  elfi2  9327  elfir  9328  dffi2  9336  elfiun  9343  fifo  9345  tz9.1c  9651  tz9.12lem1  9711  tz9.12lem3  9713  rankf  9718  cardf2  9867  cardval3  9876  cardid2  9877  cardcf  10174  cflim2  10185  intwun  10658  wuncval  10665  inttsk  10697  intgru  10737  gruina  10741  dfrtrcl2  15024  mremre  17566  mrcval  17576  asplss  21853  aspsubrg  21855  toponmre  23058  subbascn  23219  zarclsint  34016  insiga  34281  sigagenval  34284  sigagensiga  34285  dmsigagen  34288  dfon2lem8  35970  dfon2lem9  35971  bj-snmoore  37425  igenval  38382  pclvalN  40336  elrfi  43126  ismrcd1  43130  mzpval  43164  dmmzp  43165  oninfex2  43673  salgenval  46749  intsal  46758