Theorem intexrab 5268

Description: The intersection of a nonempty restricted class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexrab	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexab 5267	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
2		df-rex 3072	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-rab 3075	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	3	inteqi 4889	. . 3 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5	4	eleq1i 2831	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
6	1, 2, 5	3bitr4i 303	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110  {cab 2717  ∃wrex 3067  {crab 3070  Vcvv 3431  ∩ cint 4885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-int 4886

This theorem is referenced by:  onintrab2  7638  rankf  9545  rankvalb  9548  cardf2  9694  tskmval  10588  lspval  20227  aspval  21067  clsval  22178  spanval  29683  rgspnval  40982