Theorem intexrab 5267

Description: The intersection of a nonempty restricted class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexrab	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexab 5266	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
2		df-rex 3071	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-rab 3074	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	3	inteqi 4888	. . 3 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5	4	eleq1i 2830	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
6	1, 2, 5	3bitr4i 302	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1785   ∈ wcel 2109  {cab 2716  ∃wrex 3066  {crab 3069  Vcvv 3430  ∩ cint 4884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-int 4885

This theorem is referenced by:  onintrab2  7637  rankf  9536  rankvalb  9539  cardf2  9685  tskmval  10579  lspval  20218  aspval  21058  clsval  22169  spanval  29674  rgspnval  40973