Theorem intexrab 5315

Description: The intersection of a nonempty restricted class abstraction exists. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
intexrab	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Proof of Theorem intexrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexab 5314	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
2		df-rex 3096	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
3		df-rab 3424	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	3	inteqi 4917	. . 3 ⊢ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5	4	eleq1i 2860	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
6	1, 2, 5	3bitr4i 306	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∩ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463  ∩ cint 4913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-int 4914

This theorem is referenced by:  onintrab2  7792  rankf  9762  rankvalb  9765  cardf2  9925  tskmval  10820  rgspnval  20693  lspval  21070  aspval  21987  clsval  23159  spanval  31622  fldgenval  33572