MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgval 19585
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
efgval ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝑧,𝑛,π‘₯,π‘Š   ∼ ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑛,𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   ∼ (𝑛)

Proof of Theorem efgval
Dummy variables 𝑖 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
2 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
3 2on 8480 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
43elexi 3494 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ V
52, 4xpex 7740 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 Γ— 2o) ∈ V
6 wrdexg 14474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) ∈ V)
7 fvi 6968 . . . . . . . . . . 11 (Word (𝑖 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = Word (𝑖 Γ— 2o))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = Word (𝑖 Γ— 2o)
9 xpeq1 5691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o))
10 wrdeq 14486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o) β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = Word (𝐼 Γ— 2o))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1211fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
138, 12eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
14 efgval.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
1513, 14eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = π‘Š)
16 ereq2 8711 . . . . . . . 8 (Word (𝑖 Γ— 2o) = π‘Š β†’ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ↔ π‘Ÿ Er π‘Š))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ↔ π‘Ÿ Er π‘Š))
18 raleq 3323 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
1918ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
2015, 19raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
2117, 20anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))))
2221abbidv 2802 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
2322inteqd 4956 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
24 df-efg 19577 . . . 4 ~FG = (𝑖 ∈ V ↦ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
2514efglem 19584 . . . . 5 βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
26 intexab 5340 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} ∈ V)
2725, 26mpbi 229 . . . 4 ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} ∈ V
2823, 24, 27fvmpt 6999 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
29 fvprc 6884 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = βˆ…)
30 abn0 4381 . . . . . . . 8 ({π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
3125, 30mpbir 230 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ…
32 intssuni 4975 . . . . . . 7 ({π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ… β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
34 erssxp 8726 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ Er π‘Š β†’ π‘Ÿ βŠ† (π‘Š Γ— π‘Š))
3514efgrcl 19583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3635simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
3736con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ Β¬ π‘₯ ∈ π‘Š)
3837eq0rdv 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ π‘Š = βˆ…)
3938xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) = (π‘Š Γ— βˆ…))
40 xp0 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š Γ— βˆ…) = βˆ…
4139, 40eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) = βˆ…)
42 ss0b 4398 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š Γ— π‘Š) βŠ† βˆ… ↔ (π‘Š Γ— π‘Š) = βˆ…)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) βŠ† βˆ…)
4434, 43sylan9ssr 3997 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐼 ∈ V ∧ π‘Ÿ Er π‘Š) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…)
4544ex 414 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Ÿ Er π‘Š β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4645adantrd 493 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4746alrimiv 1931 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ€π‘Ÿ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
48 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Ÿ β†’ (𝑀 βŠ† βˆ… ↔ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4948ralab2 3694 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘Ÿ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
5047, 49sylibr 233 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ…)
51 unissb 4944 . . . . . . 7 (βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ…)
5250, 51sylibr 233 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ…)
5333, 52sstrid 3994 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ…)
54 ss0 4399 . . . . 5 (∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ… β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = βˆ…)
5553, 54syl 17 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = βˆ…)
5629, 55eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
5728, 56pm2.61i 182 . 2 ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
581, 57eqtri 2761 1 ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149   I cid 5574   Γ— cxp 5675  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459  2oc2o 8460   Er wer 8700  0cc0 11110  ...cfz 13484  β™―chash 14290  Word cword 14464   splice csplice 14699  βŸ¨β€œcs2 14792   ~FG cefg 19574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-s2 14799  df-efg 19577
This theorem is referenced by:  efger  19586  efgi  19587  efgval2  19592  frgpuplem  19640
  Copyright terms: Public domain W3C validator