MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgval 19628
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
efgval ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝑧,𝑛,π‘₯,π‘Š   ∼ ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑛,𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   ∼ (𝑛)

Proof of Theorem efgval
Dummy variables 𝑖 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
2 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
3 2on 8484 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
43elexi 3492 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ V
52, 4xpex 7744 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 Γ— 2o) ∈ V
6 wrdexg 14480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) ∈ V)
7 fvi 6968 . . . . . . . . . . 11 (Word (𝑖 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = Word (𝑖 Γ— 2o))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = Word (𝑖 Γ— 2o)
9 xpeq1 5691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o))
10 wrdeq 14492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o) β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = Word (𝐼 Γ— 2o))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1211fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
138, 12eqtr3id 2784 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
14 efgval.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
1513, 14eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = π‘Š)
16 ereq2 8715 . . . . . . . 8 (Word (𝑖 Γ— 2o) = π‘Š β†’ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ↔ π‘Ÿ Er π‘Š))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ↔ π‘Ÿ Er π‘Š))
18 raleq 3320 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
1918ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
2015, 19raleqbidv 3340 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
2117, 20anbi12d 629 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))))
2221abbidv 2799 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
2322inteqd 4956 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
24 df-efg 19620 . . . 4 ~FG = (𝑖 ∈ V ↦ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
2514efglem 19627 . . . . 5 βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
26 intexab 5340 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} ∈ V)
2725, 26mpbi 229 . . . 4 ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} ∈ V
2823, 24, 27fvmpt 6999 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
29 fvprc 6884 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = βˆ…)
30 abn0 4381 . . . . . . . 8 ({π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
3125, 30mpbir 230 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ…
32 intssuni 4975 . . . . . . 7 ({π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ… β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
34 erssxp 8730 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ Er π‘Š β†’ π‘Ÿ βŠ† (π‘Š Γ— π‘Š))
3514efgrcl 19626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3635simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
3736con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ Β¬ π‘₯ ∈ π‘Š)
3837eq0rdv 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ π‘Š = βˆ…)
3938xpeq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) = (π‘Š Γ— βˆ…))
40 xp0 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š Γ— βˆ…) = βˆ…
4139, 40eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) = βˆ…)
42 ss0b 4398 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š Γ— π‘Š) βŠ† βˆ… ↔ (π‘Š Γ— π‘Š) = βˆ…)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) βŠ† βˆ…)
4434, 43sylan9ssr 3997 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐼 ∈ V ∧ π‘Ÿ Er π‘Š) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…)
4544ex 411 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Ÿ Er π‘Š β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4645adantrd 490 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4746alrimiv 1928 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ€π‘Ÿ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
48 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Ÿ β†’ (𝑀 βŠ† βˆ… ↔ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4948ralab2 3694 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘Ÿ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
5047, 49sylibr 233 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ…)
51 unissb 4944 . . . . . . 7 (βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ…)
5250, 51sylibr 233 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ…)
5333, 52sstrid 3994 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ…)
54 ss0 4399 . . . . 5 (∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ… β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = βˆ…)
5553, 54syl 17 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = βˆ…)
5629, 55eqtr4d 2773 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
5728, 56pm2.61i 182 . 2 ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
581, 57eqtri 2758 1 ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149   I cid 5574   Γ— cxp 5675  Oncon0 6365  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  1oc1o 8463  2oc2o 8464   Er wer 8704  0cc0 11114  ...cfz 13490  β™―chash 14296  Word cword 14470   splice csplice 14705  βŸ¨β€œcs2 14798   ~FG cefg 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-s2 14805  df-efg 19620
This theorem is referenced by:  efger  19629  efgi  19630  efgval2  19635  frgpuplem  19683
  Copyright terms: Public domain W3C validator