MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgval 19507
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
efgval ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝑧,𝑛,π‘₯,π‘Š   ∼ ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑛,𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   ∼ (𝑛)

Proof of Theorem efgval
Dummy variables 𝑖 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
2 vex 3451 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
3 2on 8430 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ On
43elexi 3466 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ V
52, 4xpex 7691 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 Γ— 2o) ∈ V
6 wrdexg 14421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) ∈ V)
7 fvi 6921 . . . . . . . . . . 11 (Word (𝑖 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = Word (𝑖 Γ— 2o))
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = Word (𝑖 Γ— 2o)
9 xpeq1 5651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o))
10 wrdeq 14433 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 Γ— 2o) = (𝐼 Γ— 2o) β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = Word (𝐼 Γ— 2o))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1211fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ ( I β€˜Word (𝑖 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
138, 12eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
14 efgval.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
1513, 14eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ Word (𝑖 Γ— 2o) = π‘Š)
16 ereq2 8662 . . . . . . . 8 (Word (𝑖 Γ— 2o) = π‘Š β†’ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ↔ π‘Ÿ Er π‘Š))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ↔ π‘Ÿ Er π‘Š))
18 raleq 3308 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
1918ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
2015, 19raleqbidv 3318 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
2117, 20anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))))
2221abbidv 2802 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
2322inteqd 4916 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
24 df-efg 19499 . . . 4 ~FG = (𝑖 ∈ V ↦ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er Word (𝑖 Γ— 2o) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word (𝑖 Γ— 2o)βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑖 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
2514efglem 19506 . . . . 5 βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))
26 intexab 5300 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) ↔ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} ∈ V)
2725, 26mpbi 229 . . . 4 ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} ∈ V
2823, 24, 27fvmpt 6952 . . 3 (𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
29 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = βˆ…)
30 abn0 4344 . . . . . . . 8 ({π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ(π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)))
3125, 30mpbir 230 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ…
32 intssuni 4935 . . . . . . 7 ({π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} β‰  βˆ… β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
34 erssxp 8677 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ Er π‘Š β†’ π‘Ÿ βŠ† (π‘Š Γ— π‘Š))
3514efgrcl 19505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3635simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
3736con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ Β¬ π‘₯ ∈ π‘Š)
3837eq0rdv 4368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ π‘Š = βˆ…)
3938xpeq2d 5667 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) = (π‘Š Γ— βˆ…))
40 xp0 6114 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š Γ— βˆ…) = βˆ…
4139, 40eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) = βˆ…)
42 ss0b 4361 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š Γ— π‘Š) βŠ† βˆ… ↔ (π‘Š Γ— π‘Š) = βˆ…)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Š Γ— π‘Š) βŠ† βˆ…)
4434, 43sylan9ssr 3962 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐼 ∈ V ∧ π‘Ÿ Er π‘Š) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…)
4544ex 414 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ (π‘Ÿ Er π‘Š β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4645adantrd 493 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4746alrimiv 1931 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ€π‘Ÿ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
48 sseq1 3973 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘Ÿ β†’ (𝑀 βŠ† βˆ… ↔ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
4948ralab2 3659 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘Ÿ((π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©)) β†’ π‘Ÿ βŠ† βˆ…))
5047, 49sylibr 233 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ…)
51 unissb 4904 . . . . . . 7 (βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}𝑀 βŠ† βˆ…)
5250, 51sylibr 233 . . . . . 6 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ βˆͺ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ…)
5333, 52sstrid 3959 . . . . 5 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ…)
54 ss0 4362 . . . . 5 (∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} βŠ† βˆ… β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = βˆ…)
5553, 54syl 17 . . . 4 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))} = βˆ…)
5629, 55eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ 𝐼 ∈ V β†’ ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))})
5728, 56pm2.61i 182 . 2 ( ~FG β€˜πΌ) = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
581, 57eqtri 2761 1 ∼ = ∩ {π‘Ÿ ∣ (π‘Ÿ Er π‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Š βˆ€π‘› ∈ (0...(β™―β€˜π‘₯))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 βˆ€π‘§ ∈ 2o π‘₯π‘Ÿ(π‘₯ splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œβŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)βŸ©β€βŸ©βŸ©))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  βŸ¨cotp 4598  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911   class class class wbr 5109   I cid 5534   Γ— cxp 5635  Oncon0 6321  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1oc1o 8409  2oc2o 8410   Er wer 8651  0cc0 11059  ...cfz 13433  β™―chash 14239  Word cword 14411   splice csplice 14646  βŸ¨β€œcs2 14739   ~FG cefg 19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-s2 14746  df-efg 19499
This theorem is referenced by:  efger  19508  efgi  19509  efgval2  19514  frgpuplem  19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator