MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcmin 9782
Description: Defining property of the transitive closure function: it is a subset of any transitive class containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcmin (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (TC‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tcmin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcvalg 9779 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
2 fvex 6918 . . . . 5 (TC‘𝐴) ∈ V
31, 2eqeltrrdi 2849 . . . 4 (𝐴𝑉 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
4 intexab 5345 . . . 4 (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
53, 4sylibr 234 . . 3 (𝐴𝑉 → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
6 ssin 4238 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑥𝐴𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑥𝐵))
76biimpi 216 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑥𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑥𝐵))
8 trin 5270 . . . . . . . 8 ((Tr 𝑥 ∧ Tr 𝐵) → Tr (𝑥𝐵))
97, 8anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥𝐴𝐵) ∧ (Tr 𝑥 ∧ Tr 𝐵)) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
109an4s 660 . . . . . 6 (((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ∧ (𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵)) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
1110expcom 413 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵))))
12 vex 3483 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1312inex1 5316 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
14 sseq2 4009 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝐴𝑦𝐴 ⊆ (𝑥𝐵)))
15 treq 5266 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (Tr 𝑦 ↔ Tr (𝑥𝐵)))
1614, 15anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵))))
1713, 16elab 3678 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵) ∈ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ↔ (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
18 intss1 4962 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵) ∈ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ (𝑥𝐵))
1917, 18sylbir 235 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ (𝑥𝐵))
20 inss2 4237 . . . . . 6 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
2119, 20sstrdi 3995 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵)
2211, 21syl6 35 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
2322exlimdv 1932 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
245, 23syl5com 31 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
25 tcvalg 9779 . . 3 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)})
2625sseq1d 4014 . 2 (𝐴𝑉 → ((TC‘𝐴) ⊆ 𝐵 {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
2724, 26sylibrd 259 1 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (TC‘𝐴) ⊆ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  {cab 2713  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950   cint 4945  Tr wtr 5258  cfv 6560  TCctc 9777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-tc 9778
This theorem is referenced by:  tcidm  9787  tc0  9788  tcwf  9924  itunitc  10462  grur1  10861
  Copyright terms: Public domain W3C validator