MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcmin 9499
Description: Defining property of the transitive closure function: it is a subset of any transitive class containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcmin (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (TC‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tcmin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcvalg 9496 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
2 fvex 6787 . . . . 5 (TC‘𝐴) ∈ V
31, 2eqeltrrdi 2848 . . . 4 (𝐴𝑉 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
4 intexab 5263 . . . 4 (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
53, 4sylibr 233 . . 3 (𝐴𝑉 → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
6 ssin 4164 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑥𝐴𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑥𝐵))
76biimpi 215 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑥𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑥𝐵))
8 trin 5201 . . . . . . . 8 ((Tr 𝑥 ∧ Tr 𝐵) → Tr (𝑥𝐵))
97, 8anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥𝐴𝐵) ∧ (Tr 𝑥 ∧ Tr 𝐵)) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
109an4s 657 . . . . . 6 (((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ∧ (𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵)) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
1110expcom 414 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵))))
12 vex 3436 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1312inex1 5241 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
14 sseq2 3947 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝐴𝑦𝐴 ⊆ (𝑥𝐵)))
15 treq 5197 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (Tr 𝑦 ↔ Tr (𝑥𝐵)))
1614, 15anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵))))
1713, 16elab 3609 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵) ∈ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ↔ (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
18 intss1 4894 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵) ∈ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ (𝑥𝐵))
1917, 18sylbir 234 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ (𝑥𝐵))
20 inss2 4163 . . . . . 6 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
2119, 20sstrdi 3933 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵)
2211, 21syl6 35 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
2322exlimdv 1936 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
245, 23syl5com 31 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
25 tcvalg 9496 . . 3 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)})
2625sseq1d 3952 . 2 (𝐴𝑉 → ((TC‘𝐴) ⊆ 𝐵 {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
2724, 26sylibrd 258 1 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (TC‘𝐴) ⊆ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  {cab 2715  Vcvv 3432  cin 3886  wss 3887   cint 4879  Tr wtr 5191  cfv 6433  TCctc 9494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-tc 9495
This theorem is referenced by:  tcidm  9504  tc0  9505  tcwf  9641  itunitc  10177  grur1  10576
  Copyright terms: Public domain W3C validator