MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcmin 9259
Description: Defining property of the transitive closure function: it is a subset of any transitive class containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tcmin (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (TC‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tcmin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcvalg 9256 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)})
2 fvex 6690 . . . . 5 (TC‘𝐴) ∈ V
31, 2eqeltrrdi 2843 . . . 4 (𝐴𝑉 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
4 intexab 5208 . . . 4 (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
53, 4sylibr 237 . . 3 (𝐴𝑉 → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
6 ssin 4122 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑥𝐴𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑥𝐵))
76biimpi 219 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑥𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑥𝐵))
8 trin 5147 . . . . . . . 8 ((Tr 𝑥 ∧ Tr 𝐵) → Tr (𝑥𝐵))
97, 8anim12i 616 . . . . . . 7 (((𝐴𝑥𝐴𝐵) ∧ (Tr 𝑥 ∧ Tr 𝐵)) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
109an4s 660 . . . . . 6 (((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ∧ (𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵)) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
1110expcom 417 . . . . 5 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵))))
12 vex 3403 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
1312inex1 5186 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵) ∈ V
14 sseq2 3904 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝐴𝑦𝐴 ⊆ (𝑥𝐵)))
15 treq 5143 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (Tr 𝑦 ↔ Tr (𝑥𝐵)))
1614, 15anbi12d 634 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵))))
1713, 16elab 3574 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵) ∈ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ↔ (𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)))
18 intss1 4852 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵) ∈ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ (𝑥𝐵))
1917, 18sylbir 238 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ (𝑥𝐵))
20 inss2 4121 . . . . . 6 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
2119, 20sstrdi 3890 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (𝑥𝐵) ∧ Tr (𝑥𝐵)) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵)
2211, 21syl6 35 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
2322exlimdv 1940 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
245, 23syl5com 31 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
25 tcvalg 9256 . . 3 (𝐴𝑉 → (TC‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)})
2625sseq1d 3909 . 2 (𝐴𝑉 → ((TC‘𝐴) ⊆ 𝐵 {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ Tr 𝑦)} ⊆ 𝐵))
2724, 26sylibrd 262 1 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝐵 ∧ Tr 𝐵) → (TC‘𝐴) ⊆ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  {cab 2717  Vcvv 3399  cin 3843  wss 3844   cint 4837  Tr wtr 5137  cfv 6340  TCctc 9254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-tc 9255
This theorem is referenced by:  tcidm  9264  tc0  9265  tcwf  9388  itunitc  9924  grur1  10323
  Copyright terms: Public domain W3C validator