Theorem ischn 18564

Description: Property of being a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ischn	⊢ (𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))

Distinct variable groups:   < ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem ischn

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5852	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → dom 𝑐 = dom 𝐶)
2	1	difeq1d 4066	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (dom 𝑐 ∖ {0}) = (dom 𝐶 ∖ {0}))
3		fveq1 6833	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
4		fveq1 6833	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
5	3, 4	breq12d 5099	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐‘(𝑛 − 1)) < (𝑐‘𝑛) ↔ (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))
6	2, 5	raleqbidv 3312	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑛 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑛 − 1)) < (𝑐‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))
7		df-chn 18563	. 2 ⊢ ( < Chain 𝐴) = {𝑐 ∈ Word 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑛 − 1)) < (𝑐‘𝑛)}
8	6, 7	elrab2 3638	1 ⊢ (𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   − cmin 11368  Word cword 14466   Chain cchn 18562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-chn 18563

This theorem is referenced by:  chnwrd  18565  chnltm1  18566  pfxchn  18567  chnrss  18572  chndss  18573  nulchn  18576  s1chn  18577  chnind  18578  chnso  18581  chnccats1  18582  chnccat  18583  chnrev  18584  ex-chn1  18594  ex-chn2  18595  chnsubseq  47326