Theorem ischn 18571

Description: Property of being a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ischn	⊢ (𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))

Distinct variable groups:   < ,𝑛   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛

Proof of Theorem ischn

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5852	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → dom 𝑐 = dom 𝐶)
2	1	difeq1d 4063	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (dom 𝑐 ∖ {0}) = (dom 𝐶 ∖ {0}))
3		fveq1 6833	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
4		fveq1 6833	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
5	3, 4	breq12d 5092	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐‘(𝑛 − 1)) < (𝑐‘𝑛) ↔ (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))
6	2, 5	raleqbidv 3314	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑛 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑛 − 1)) < (𝑐‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))
7		df-chn 18570	. 2 ⊢ ( < Chain 𝐴) = {𝑐 ∈ Word 𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑛 − 1)) < (𝑐‘𝑛)}
8	6, 7	elrab2 3639	1 ⊢ (𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛)))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ∖ cdif 3887  {csn 4562   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   − cmin 11375  Word cword 14473   Chain cchn 18569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fv 6500  df-chn 18570

This theorem is referenced by:  chnwrd  18572  chnltm1  18573  pfxchn  18574  chnrss  18579  chndss  18580  nulchn  18583  s1chn  18584  chnind  18585  chnso  18588  chnccats1  18589  chnccat  18590  chnrev  18591  ex-chn1  18601  ex-chn2  18602  chnsubseq  47332