Theorem pfxchn 18816

Description: A prefix of a chain is still a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnwrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
pfxchn.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
pfxchn	⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem pfxchn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnwrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
2	1	chnwrd 18814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
3		pfxcl 14858	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
5	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
6		pfxchn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8		elfzuz3 13683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
9		fzoss2 13852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}))
12	11	eldifad 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom (𝐶 prefix 𝐿))
13	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
14		pfxlen 14864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	13, 7, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	15	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 = (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)))
17	4	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
18	16, 17	wrdfd 14694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝐴)
19	18	fdmd 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom (𝐶 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20	12, 19	eleqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^𝐿))
21	10, 20	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
22		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶))
23	22, 13	wrdfd 14694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))⟶𝐴)
24	23	fdmd 6745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom 𝐶 = (0..^(♯‘𝐶)))
25	21, 24	eleqtrrd 2867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom 𝐶)
26		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
27	11, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
28	25, 27	eldifsnd 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0}))
29	5, 28	chnltm1 18815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛))
30	7	elfzelzd 13687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ ℤ)
31		fzossrbm1 13853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
33		fzom1ne1 13950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
34	20, 27, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
35	32, 34	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿))
36		pfxfv 14863	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
37	13, 7, 35, 36	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
38		pfxfv 14863	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
39	13, 7, 20, 38	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
40	29, 37, 39	3brtr4d 5141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
41	40	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
42		ischn 18813	. 2 ⊢ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛)))
43	4, 41, 42	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   − cmin 11571  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   prefix cpfx 14851   Chain cchn 18811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-chn 18812

This theorem is used by:  chnlt  18829  chnerlem2  48108