Theorem pfxchn 18518

Description: A prefix of a chain is still a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnwrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
pfxchn.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
pfxchn	⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem pfxchn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnwrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
2	1	chnwrd 18516	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
3		pfxcl 14587	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
5	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
6		pfxchn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8		elfzuz3 13423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
9		fzoss2 13589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}))
12	11	eldifad 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom (𝐶 prefix 𝐿))
13	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
14		pfxlen 14593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	15	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 = (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)))
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
18	16, 17	wrdfd 14428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝐴)
19	18	fdmd 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom (𝐶 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20	12, 19	eleqtrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^𝐿))
21	10, 20	sseldd 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
22		eqidd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶))
23	22, 13	wrdfd 14428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))⟶𝐴)
24	23	fdmd 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom 𝐶 = (0..^(♯‘𝐶)))
25	21, 24	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom 𝐶)
26		eldifsni 4741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
27	11, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
28	25, 27	eldifsnd 4738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0}))
29	5, 28	chnltm1 18517	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛))
30	7	elfzelzd 13427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ ℤ)
31		fzossrbm1 13590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
33		fzom1ne1 13687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
34	20, 27, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
35	32, 34	sseldd 3931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿))
36		pfxfv 14592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
37	13, 7, 35, 36	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
38		pfxfv 14592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
39	13, 7, 20, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
40	29, 37, 39	3brtr4d 5125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
41	40	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
42		ischn 18515	. 2 ⊢ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛)))
43	4, 41, 42	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4575   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   − cmin 11351  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   prefix cpfx 14580   Chain cchn 18513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-chn 18514

This theorem is referenced by:  chnlt  18531  chnerlem2  47006