Theorem pfxchn 18656

Description: A prefix of a chain is still a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnwrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
pfxchn.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
pfxchn	⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem pfxchn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnwrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
2	1	chnwrd 18654	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
3		pfxcl 14705	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
5	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
6		pfxchn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
7	6	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8		elfzuz3 13540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
9		fzoss2 13707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
11		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}))
12	11	eldifad 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom (𝐶 prefix 𝐿))
13	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
14		pfxlen 14711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	13, 7, 14	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	15	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 = (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)))
17	4	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
18	16, 17	wrdfd 14546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝐴)
19	18	fdmd 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom (𝐶 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20	12, 19	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^𝐿))
21	10, 20	sseldd 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
22		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶))
23	22, 13	wrdfd 14546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))⟶𝐴)
24	23	fdmd 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom 𝐶 = (0..^(♯‘𝐶)))
25	21, 24	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom 𝐶)
26		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
27	11, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
28	25, 27	eldifsnd 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0}))
29	5, 28	chnltm1 18655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛))
30	7	elfzelzd 13544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ ℤ)
31		fzossrbm1 13708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
33		fzom1ne1 13805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
34	20, 27, 33	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
35	32, 34	sseldd 3940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿))
36		pfxfv 14710	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
37	13, 7, 35, 36	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
38		pfxfv 14710	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
39	13, 7, 20, 38	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
40	29, 37, 39	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
41	40	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
42		ischn 18653	. 2 ⊢ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛)))
43	4, 41, 42	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   − cmin 11429  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Word cword 14540   prefix cpfx 14698   Chain cchn 18651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-chn 18652

This theorem is referenced by:  chnlt  18669  chnerlem2  47457