Theorem pfxchn 32983

Description: A prefix of a chain is still a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnwrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
pfxchn.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
pfxchn	⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain𝐴))

Proof of Theorem pfxchn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnwrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
2	1	chnwrd 32981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
3		pfxcl 14711	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
5	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
6		pfxchn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8		elfzuz3 13557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
9		fzoss2 13723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
11		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}))
12	11	eldifad 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom (𝐶 prefix 𝐿))
13	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
14		pfxlen 14717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	15	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 = (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)))
17	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
18	16, 17	wrdfd 32902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝐴)
19	18	fdmd 6746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom (𝐶 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20	12, 19	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^𝐿))
21	10, 20	sseldd 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
22		eqidd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶))
23	22, 13	wrdfd 32902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))⟶𝐴)
24	23	fdmd 6746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom 𝐶 = (0..^(♯‘𝐶)))
25	21, 24	eleqtrrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom 𝐶)
26		eldifsni 4794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
27	11, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
28	25, 27	eldifsnd 4791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0}))
29	5, 28	chnltm1 32982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛))
30	7	elfzelzd 13561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ ℤ)
31		fzossrbm1 13724	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
33		fzom1ne1 32808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
34	20, 27, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
35	32, 34	sseldd 3995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿))
36		pfxfv 14716	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
37	13, 7, 35, 36	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
38		pfxfv 14716	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
39	13, 7, 20, 38	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
40	29, 37, 39	3brtr4d 5179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
41	40	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
42		ischn 32980	. 2 ⊢ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain𝐴) ↔ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛)))
43	4, 41, 42	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   − cmin 11489  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Word cword 14548   prefix cpfx 14704  Chaincchn 32978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-chn 32979

This theorem is referenced by:  chnlt  32986