Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxchn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxchn 32999
Description: A prefix of a chain is still a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
chnwrd.1 (𝜑𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
pfxchn.2 (𝜑𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
pfxchn (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain𝐴))

Proof of Theorem pfxchn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chnwrd.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
21chnwrd 32997 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝐴)
3 pfxcl 14715 . . 3 (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
51adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
6 pfxchn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8 elfzuz3 13561 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ (ℤ𝐿))
9 fzoss2 13727 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐶) ∈ (ℤ𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}))
1211eldifad 3963 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom (𝐶 prefix 𝐿))
132adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
14 pfxlen 14721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
1513, 7, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
1615eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 = (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)))
174adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
1816, 17wrdfd 32918 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝐴)
1918fdmd 6746 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom (𝐶 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
2012, 19eleqtrd 2843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^𝐿))
2110, 20sseldd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
22 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶))
2322, 13wrdfd 32918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))⟶𝐴)
2423fdmd 6746 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom 𝐶 = (0..^(♯‘𝐶)))
2521, 24eleqtrrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom 𝐶)
26 eldifsni 4790 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
2711, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
2825, 27eldifsnd 4787 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0}))
295, 28chnltm1 32998 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶𝑛))
307elfzelzd 13565 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ ℤ)
31 fzossrbm1 13728 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℤ → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
3230, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
33 fzom1ne1 32803 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
3420, 27, 33syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
3532, 34sseldd 3984 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿))
36 pfxfv 14720 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
3713, 7, 35, 36syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
38 pfxfv 14720 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶𝑛))
3913, 7, 20, 38syl3anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶𝑛))
4029, 37, 393brtr4d 5175 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
4140ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
42 ischn 32996 . 2 ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain𝐴) ↔ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛)))
434, 41, 42sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   prefix cpfx 14708  Chaincchn 32994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-chn 32995
This theorem is referenced by:  chnlt  33003
  Copyright terms: Public domain W3C validator