Theorem pfxchn 18704

Description: A prefix of a chain is still a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnwrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
pfxchn.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
pfxchn	⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem pfxchn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnwrd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
2	1	chnwrd 18702	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
3		pfxcl 14751	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝐴 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
5	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ ( < Chain 𝐴))
6		pfxchn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)))
8		elfzuz3 13579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿))
9		fzoss2 13747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝐶)))
11		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}))
12	11	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom (𝐶 prefix 𝐿))
13	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶 ∈ Word 𝐴)
14		pfxlen 14757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶))) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	13, 7, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	15	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 = (♯‘(𝐶 prefix 𝐿)))
17	4	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
18	16, 17	wrdfd 14588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶 prefix 𝐿):(0..^𝐿)⟶𝐴)
19	18	fdmd 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom (𝐶 prefix 𝐿) = (0..^𝐿))
20	12, 19	eleqtrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^𝐿))
21	10, 20	sseldd 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
22		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (♯‘𝐶) = (♯‘𝐶))
23	22, 13	wrdfd 14588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐶:(0..^(♯‘𝐶))⟶𝐴)
24	23	fdmd 6717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → dom 𝐶 = (0..^(♯‘𝐶)))
25	21, 24	eleqtrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ dom 𝐶)
26		eldifsni 4756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
27	11, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
28	25, 27	eldifsnd 4753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0}))
29	5, 28	chnltm1 18703	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝐶‘(𝑛 − 1)) < (𝐶‘𝑛))
30	7	elfzelzd 13583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → 𝐿 ∈ ℤ)
31		fzossrbm1 13748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
32	30, 31	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (0..^(𝐿 − 1)) ⊆ (0..^𝐿))
33		fzom1ne1 13845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝐿) ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
34	20, 27, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
35	32, 34	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿))
36		pfxfv 14756	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ (𝑛 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
37	13, 7, 35, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) = (𝐶‘(𝑛 − 1)))
38		pfxfv 14756	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
39	13, 7, 20, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛) = (𝐶‘𝑛))
40	29, 37, 39	3brtr4d 5141	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})) → ((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
41	40	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛))
42		ischn 18701	. 2 ⊢ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ ((𝐶 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom (𝐶 prefix 𝐿) ∖ {0})((𝐶 prefix 𝐿)‘(𝑛 − 1)) < ((𝐶 prefix 𝐿)‘𝑛)))
43	4, 41, 42	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 prefix 𝐿) ∈ ( < Chain 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   − cmin 11469  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Word cword 14582   prefix cpfx 14744   Chain cchn 18699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-chn 18700

This theorem is used by:  chnlt  18717  chnerlem2  47719