Theorem s1chn 18701

Description: A singleton word is always a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1chn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
s1chn	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem s1chn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1chn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2	1	s1cld 14662	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
3		ral0 4464	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ (⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)
4		s1dm 14667	. . . . . 6 ⊢ dom ⟨“𝑋”⟩ = {0}
5	4	difeq1i 4080	. . . . 5 ⊢ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0}) = ({0} ∖ {0})
6		difid 4335	. . . . 5 ⊢ ({0} ∖ {0}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0}) = ∅
8	7	raleqi 3324	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ (⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛))
9	3, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)
10		ischn 18688	. 2 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)))
11	2, 9, 10	sylanblrc 602	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905  ∅c0 4289  {csn 4594   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   − cmin 11459  Word cword 14570  ⟨“cs1 14654   Chain cchn 18686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-s1 14655  df-chn 18687

This theorem is used by:  chninf  18716  constrextdg2  34170  nthrucw  47648