Theorem s1chn 18800

Description: A singleton word is always a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1chn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
s1chn	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem s1chn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1chn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2	1	s1cld 14754	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
3		ral0 4453	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ (⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)
4		s1dm 14759	. . . . . 6 ⊢ dom ⟨“𝑋”⟩ = {0}
5	4	difeq1i 4059	. . . . 5 ⊢ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0}) = ({0} ∖ {0})
6		difid 4324	. . . . 5 ⊢ ({0} ∖ {0}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0}) = ∅
8	7	raleqi 3317	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ (⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛))
9	3, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)
10		ischn 18787	. 2 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)))
11	2, 9, 10	sylanblrc 602	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   − cmin 11545  Word cword 14662  ⟨“cs1 14746   Chain cchn 18785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-s1 14747  df-chn 18786

This theorem is used by:  chninf  18815  constrextdg2  34428  numtowerdt  48010