Theorem s1chn 18555

Description: A singleton word is always a chain. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
s1chn.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
s1chn	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))

Proof of Theorem s1chn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1chn.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
2	1	s1cld 14539	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
3		ral0 4453	. . 3 ⊢ ∀𝑛 ∈ ∅ (⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)
4		s1dm 14544	. . . . . 6 ⊢ dom ⟨“𝑋”⟩ = {0}
5	4	difeq1i 4076	. . . . 5 ⊢ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0}) = ({0} ∖ {0})
6		difid 4330	. . . . 5 ⊢ ({0} ∖ {0}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0}) = ∅
8	7	raleqi 3296	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ ∅ (⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛))
9	3, 8	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)
10		ischn 18542	. 2 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴) ↔ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ (dom ⟨“𝑋”⟩ ∖ {0})(⟨“𝑋”⟩‘(𝑛 − 1)) < (⟨“𝑋”⟩‘𝑛)))
11	2, 9, 10	sylanblrc 591	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ ( < Chain 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11376  Word cword 14448  ⟨“cs1 14531   Chain cchn 18540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-s1 14532  df-chn 18541

This theorem is referenced by:  chninf  18570  constrextdg2  33926  nthrucw  47233