Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chnind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chnind 33002
Description: Induction over a chain. See nnind 12285 for an explanation about the hypotheses. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
chnind.1 (𝑐 = ∅ → (𝜓𝜒))
chnind.2 (𝑐 = 𝑑 → (𝜓𝜃))
chnind.3 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝜓𝜏))
chnind.4 (𝑐 = 𝐶 → (𝜓𝜂))
chnind.6 (𝜑𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
chnind.7 (𝜑𝜒)
chnind.8 (((((𝜑𝑑 ∈ ( < Chain𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑑 = ∅ ∨ (lastS‘𝑑) < 𝑥)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
Assertion
Ref Expression
chnind (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   < ,𝑐,𝑑,𝑥   𝐴,𝑐,𝑑,𝑥   𝐶,𝑐   𝜑,𝑐,𝑑,𝑥   𝜂,𝑐   𝜃,𝑐   𝜏,𝑐   𝜓,𝑑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑐)   𝜒(𝑥,𝑐,𝑑)   𝜃(𝑥,𝑑)   𝜏(𝑥,𝑑)   𝜂(𝑥,𝑑)   𝐶(𝑥,𝑑)

Proof of Theorem chnind
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chnind.6 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ( < Chain𝐴))
21chnwrd 32998 . 2 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝐴)
3 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
4 ischn 32997 . . . 4 (𝐶 ∈ ( < Chain𝐴) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖)))
51, 4sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖)))
65simprd 495 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖))
7 dmeq 5913 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → dom 𝑐 = dom ∅)
87difeq1d 4124 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → (dom 𝑐 ∖ {0}) = (dom ∅ ∖ {0}))
9 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝑐‘(𝑖 − 1)) = (∅‘(𝑖 − 1)))
10 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝑐𝑖) = (∅‘𝑖))
119, 10breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → ((𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ (∅‘(𝑖 − 1)) < (∅‘𝑖)))
128, 11raleqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (dom ∅ ∖ {0})(∅‘(𝑖 − 1)) < (∅‘𝑖)))
1312anbi2d 630 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom ∅ ∖ {0})(∅‘(𝑖 − 1)) < (∅‘𝑖))))
14 chnind.1 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝜓𝜒))
1513, 14imbi12d 344 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom ∅ ∖ {0})(∅‘(𝑖 − 1)) < (∅‘𝑖)) → 𝜒)))
16 dmeq 5913 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → dom 𝑐 = dom 𝑑)
1716difeq1d 4124 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (dom 𝑐 ∖ {0}) = (dom 𝑑 ∖ {0}))
18 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑖 − 1)))
19 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝑖) = (𝑑𝑖))
2018, 19breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ (𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖)))
2117, 20raleqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → (∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖)))
2221anbi2d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖))))
23 chnind.2 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝜓𝜃))
2422, 23imbi12d 344 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖)) → 𝜃)))
25 dmeq 5913 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → dom 𝑐 = dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩))
2625difeq1d 4124 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (dom 𝑐 ∖ {0}) = (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0}))
27 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑐‘(𝑖 − 1)) = ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)))
28 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝑐𝑖) = ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖))
2927, 28breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)))
3026, 29raleqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)))
3130anbi2d 630 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖))))
32 chnind.3 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (𝜓𝜏))
3331, 32imbi12d 344 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) → (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝜏)))
34 dmeq 5913 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → dom 𝑐 = dom 𝐶)
3534difeq1d 4124 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (dom 𝑐 ∖ {0}) = (dom 𝐶 ∖ {0}))
36 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘(𝑖 − 1)) = (𝐶‘(𝑖 − 1)))
37 fveq1 6904 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑖) = (𝐶𝑖))
3836, 37breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ (𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖)))
3935, 38raleqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖)))
4039anbi2d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖))))
41 chnind.4 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (𝜓𝜂))
4240, 41imbi12d 344 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑐 ∖ {0})(𝑐‘(𝑖 − 1)) < (𝑐𝑖)) → 𝜓) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖)) → 𝜂)))
43 chnind.7 . . . . 5 (𝜑𝜒)
4443adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom ∅ ∖ {0})(∅‘(𝑖 − 1)) < (∅‘𝑖)) → 𝜒)
45 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → 𝜑)
46 simp-4l 782 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → 𝑑 ∈ Word 𝐴)
47 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ Word 𝐴)
48 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) → 𝑥𝐴)
4948s1cld 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
5047, 49ccatdmss 32935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) → dom 𝑑 ⊆ dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩))
5150ssdifd 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) → (dom 𝑑 ∖ {0}) ⊆ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0}))
5251sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) → 𝑗 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0}))
53 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) = ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)))
54 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) = ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗))
5553, 54breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) ↔ ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗)))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ 𝑖 = 𝑗) → (((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) ↔ ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗)))
5752, 56rspcdv 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) → (∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗)))
5857imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗))
59 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑑 ∈ Word 𝐴)
6049ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
61 lencl 14572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑑) ∈ ℕ0)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) ∈ ℕ0)
6362nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) ∈ ℤ)
64 fzossrbm1 13729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑑) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑑) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑑)))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (0..^((♯‘𝑑) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑑)))
66 fzossz 13720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^(♯‘𝑑)) ⊆ ℤ
67 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0}))
6867eldifad 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑗 ∈ dom 𝑑)
69 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) = (♯‘𝑑))
7069, 59wrdfd 32919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑑:(0..^(♯‘𝑑))⟶𝐴)
7170fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → dom 𝑑 = (0..^(♯‘𝑑)))
7268, 71eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑑)))
7366, 72sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑗 ∈ ℤ)
74 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0}) → 𝑗 ≠ 0)
7567, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑗 ≠ 0)
76 fzo1fzo0n0 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑑)) ↔ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑑)) ∧ 𝑗 ≠ 0))
7772, 75, 76sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑑)))
78 elfzom1b 13806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑑) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑑)) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑑) − 1))))
7978biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑑) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑑))) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑑) − 1)))
8073, 63, 77, 79syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝑑) − 1)))
8165, 80sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑑)))
82 ccatval1 14616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑗 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑑))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)) = (𝑑‘(𝑗 − 1)))
8359, 60, 81, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑗 − 1)) = (𝑑‘(𝑗 − 1)))
84 ccatval1 14616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑑))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗) = (𝑑𝑗))
8559, 60, 72, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑗) = (𝑑𝑗))
8658, 83, 853brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
8786an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) → (𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
8887adantllr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})) → (𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
8988ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ∀𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
9089an32s 652 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → ∀𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
91 ischn 32997 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ( < Chain𝐴) ↔ (𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗)))
9246, 90, 91sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → 𝑑 ∈ ( < Chain𝐴))
9345, 92jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → (𝜑𝑑 ∈ ( < Chain𝐴)))
94 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → 𝑥𝐴)
95 lsw 14603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Word 𝐴 → (lastS‘𝑑) = (𝑑‘((♯‘𝑑) − 1)))
9695ad5antr 734 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (lastS‘𝑑) = (𝑑‘((♯‘𝑑) − 1)))
97 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → 𝑑 ∈ Word 𝐴)
98 fzonn0p1 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑑) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑑) ∈ (0..^((♯‘𝑑) + 1)))
9997, 61, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (♯‘𝑑) ∈ (0..^((♯‘𝑑) + 1)))
100 ccatws1len 14659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((♯‘𝑑) + 1))
101100ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)) = ((♯‘𝑑) + 1))
102101eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → ((♯‘𝑑) + 1) = (♯‘(𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)))
103 ccatws1cl 14655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) → (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∈ Word 𝐴)
104103ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∈ Word 𝐴)
105102, 104wrdfd 32919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩):(0..^((♯‘𝑑) + 1))⟶𝐴)
106105fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) = (0..^((♯‘𝑑) + 1)))
10799, 106eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (♯‘𝑑) ∈ dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩))
108 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → ¬ 𝑑 = ∅)
109108neqned 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → 𝑑 ≠ ∅)
110 hasheq0 14403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑑) = 0 ↔ 𝑑 = ∅))
111110necon3bid 2984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑑) ≠ 0 ↔ 𝑑 ≠ ∅))
112111biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑑 ≠ ∅) → (♯‘𝑑) ≠ 0)
11397, 109, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (♯‘𝑑) ≠ 0)
114107, 113eldifsnd 4786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (♯‘𝑑) ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0}))
115 fvoveq1 7455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (♯‘𝑑) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) = ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)))
116 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (♯‘𝑑) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) = ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑)))
117115, 116breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (♯‘𝑑) → (((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) ↔ ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑))))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ 𝑖 = (♯‘𝑑)) → (((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) ↔ ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑))))
119114, 118rspcdv 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) → (∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑))))
120119imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑)))
12147ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑑 ∈ Word 𝐴)
12249ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴)
123121, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) ∈ ℕ0)
124113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) ≠ 0)
125 elnnne0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑑) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑑) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑑) ≠ 0))
126123, 124, 125sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) ∈ ℕ)
127 fzo0end 13798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑑) ∈ ℕ → ((♯‘𝑑) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑑)))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((♯‘𝑑) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑑)))
129 ccatval1 14616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑥”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ ((♯‘𝑑) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑑))) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)) = (𝑑‘((♯‘𝑑) − 1)))
130121, 122, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘((♯‘𝑑) − 1)) = (𝑑‘((♯‘𝑑) − 1)))
13148ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝑥𝐴)
132 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (♯‘𝑑) = (♯‘𝑑))
133 ccats1val2 14666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴 ∧ (♯‘𝑑) = (♯‘𝑑)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑)) = 𝑥)
134121, 131, 132, 133syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(♯‘𝑑)) = 𝑥)
135120, 130, 1343brtr3d 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (𝑑‘((♯‘𝑑) − 1)) < 𝑥)
13696, 135eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) ∧ 𝜃) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (lastS‘𝑑) < 𝑥)
137136an42ds 32470 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) ∧ ¬ 𝑑 = ∅) → (lastS‘𝑑) < 𝑥)
138137ex 412 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → (¬ 𝑑 = ∅ → (lastS‘𝑑) < 𝑥))
139138orrd 863 . . . . . . . 8 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → (𝑑 = ∅ ∨ (lastS‘𝑑) < 𝑥))
140 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → 𝜃)
141 chnind.8 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑑 ∈ ( < Chain𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑑 = ∅ ∨ (lastS‘𝑑) < 𝑥)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
14293, 94, 139, 140, 141syl1111anc 840 . . . . . . 7 (((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) ∧ 𝜃) → 𝜏)
143142ex 412 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (𝜃𝜏))
144143expl 457 . . . . 5 ((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → (𝜃𝜏)))
14587ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ∀𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
146 fvoveq1 7455 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑑‘(𝑖 − 1)) = (𝑑‘(𝑗 − 1)))
147 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑗))
148146, 147breq12d 5155 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖) ↔ (𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗)))
149148cbvralvw 3236 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑗 − 1)) < (𝑑𝑗))
150145, 149sylibr 234 . . . . . 6 ((((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖))
151150expl 457 . . . . 5 ((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖)))
152144, 151a2and 845 . . . 4 ((𝑑 ∈ Word 𝐴𝑥𝐴) → (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝑑 ∖ {0})(𝑑‘(𝑖 − 1)) < (𝑑𝑖)) → 𝜃) → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom (𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩) ∖ {0})((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘(𝑖 − 1)) < ((𝑑 ++ ⟨“𝑥”⟩)‘𝑖)) → 𝜏)))
15315, 24, 33, 42, 44, 152wrdind 14761 . . 3 (𝐶 ∈ Word 𝐴 → ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖)) → 𝜂))
154153imp 406 . 2 ((𝐶 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (dom 𝐶 ∖ {0})(𝐶‘(𝑖 − 1)) < (𝐶𝑖))) → 𝜂)
1552, 3, 6, 154syl12anc 836 1 (𝜑𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  cdif 3947  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553  lastSclsw 14601   ++ cconcat 14609  ⟨“cs1 14634  Chaincchn 32995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14635  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-chn 32996
This theorem is referenced by:  chnub  33003  fldext2chn  33770
  Copyright terms: Public domain W3C validator