Theorem lmodvscld 21160

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscld.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvscld.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvscld.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvscld.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvscld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvscld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lmodvscld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscld	⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvscld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvscld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
3		lmodvscld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lmodvscld.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lmodvscld.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lmodvscld.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lmodvscld.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7	lmodvscl 21159	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  LModclmod 21141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-lmod 21143

This theorem is used by:  assa2ass2  22178  selvvvval  22457  mhpvscacl  22481  ply1vscl  22705  ressasclcl  34150  ply1coedeg  34168  q1pvsca  34183  r1pvsca  34184  r1plmhm  34188  vietalem  34258  ply1degltdimlem  34301  lactlmhm  34313  extdgfialglem2  34372  algextdeglem8  34403  frlmvscl  43660  frlmsnic  43698  prjspvs  43732  prjspeclsp  43734  asclelbasALT  50214