Theorem lmodvscld 20878

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscld.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvscld.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvscld.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvscld.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvscld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvscld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lmodvscld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscld	⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvscld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvscld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
3		lmodvscld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lmodvscld.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lmodvscld.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lmodvscld.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lmodvscld.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7	lmodvscl 20877	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  LModclmod 20859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-nul 5305

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-iota 6513  df-fv 6568  df-ov 7435  df-lmod 20861

This theorem is referenced by:  assa2ass2  21885  mhpvscacl  22159  ply1vscl  22389  ressasclcl  33597  q1pvsca  33625  r1pvsca  33626  r1plmhm  33631  ply1degltdimlem  33674  lactlmhm  33686  algextdeglem8  33766  frlmsnic  42555  selvvvval  42600  prjspvs  42625  prjspeclsp  42627  asclelbasALT  48911