Theorem lmodvscld 20915

Description: Closure of scalar product for a left module. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvscld.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvscld.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvscld.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvscld.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvscld.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodvscld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lmodvscld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscld	⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodvscld.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvscld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
3		lmodvscld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		lmodvscld.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lmodvscld.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lmodvscld.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lmodvscld.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7	lmodvscl 20914	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262  LModclmod 20896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-ext 2724  ax-nul 5246

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-sb 2081  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-dif 3898  df-un 3900  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-iota 6462  df-fv 6514  df-ov 7384  df-lmod 20898

This theorem is referenced by:  assa2ass2  21885  selvvvval  22164  mhpvscacl  22188  ply1vscl  22413  ressasclcl  33711  ply1coedeg  33729  q1pvsca  33744  r1pvsca  33745  r1plmhm  33750  vietalem  33820  ply1degltdimlem  33863  lactlmhm  33875  extdgfialglem2  33934  algextdeglem8  33965  frlmsnic  43096  prjspvs  43130  prjspeclsp  43132  asclelbasALT  49565