Theorem ply1vscl 22510

Description: Closure of scalar multiplication for univariate polynomials. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vscl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1vscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1vscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vscl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1vscl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
ply1vscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1vscl	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1vscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1vscl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22324	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2769	. 2 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
6		ply1vscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7	1, 5, 6	ply1vsca 22353	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
8		eqid 2769	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
9		1oex 8463	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
11		ply1vscl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 10, 11	mpllmodd 22143	. 2 ⊢ (𝜑 → (1o mPoly 𝑅) ∈ LMod)
13		ply1vscl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		ply1vscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	5, 10, 11	mplsca 22131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
17	14, 16	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
18	13, 17	eleqtrd 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
19		ply1vscl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	3, 4, 7, 8, 12, 18, 19	lmodvscld 20978	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1_oc1o 8446  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  Ringcrg 20315   mPoly cmpl 22025  Poly₁cpl1 22306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-psr 22028  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-ply1 22311

This theorem is referenced by:  rhmply1vsca  22514  vietalem  33914