Theorem ply1vscl 22332

Description: Closure of scalar multiplication for univariate polynomials. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vscl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1vscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1vscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vscl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1vscl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
ply1vscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1vscl	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1vscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1vscl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22139	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
6		ply1vscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7	1, 5, 6	ply1vsca 22169	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
8		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
9		1oex 8409	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
11		ply1vscl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 10, 11	mpllmodd 21983	. 2 ⊢ (𝜑 → (1o mPoly 𝑅) ∈ LMod)
13		ply1vscl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		ply1vscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	5, 10, 11	mplsca 21972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
17	14, 16	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
18	13, 17	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
19		ply1vscl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	3, 4, 7, 8, 12, 18, 19	lmodvscld 20834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1_oc1o 8392  Basecbs 17140  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  Ringcrg 20172   mPoly cmpl 21866  Poly₁cpl1 22121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-psr 21869  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-ply1 22126

This theorem is referenced by:  rhmply1vsca  22336  vietalem  33737