Theorem ply1vscl 22726

Description: Closure of scalar multiplication for univariate polynomials. (Contributed by SN, 20-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1vscl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1vscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1vscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1vscl.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1vscl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1vscl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
ply1vscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1vscl	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1vscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1vscl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1vscl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	ply1bas 22540	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
6		ply1vscl.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7	1, 5, 6	ply1vsca 22569	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(1o mPoly 𝑅))
8		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
9		1oex 8511	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
11		ply1vscl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 10, 11	mpllmodd 22359	. 2 ⊢ (𝜑 → (1o mPoly 𝑅) ∈ LMod)
13		ply1vscl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14		ply1vscl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	5, 10, 11	mplsca 22347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(1o mPoly 𝑅)))
16	15	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
17	14, 16	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
18	13, 17	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘(1o mPoly 𝑅))))
19		ply1vscl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	3, 4, 7, 8, 12, 18, 19	lmodvscld 21181	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1_oc1o 8494  Basecbs 17413  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  Ringcrg 20486   mPoly cmpl 22241  Poly₁cpl1 22522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-psr 22244  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-ply1 22527

This theorem is used by:  rhmply1vsca  22730  vietalem  34278