Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvvvval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem selvvvval 41883
Description: Recover the original polynomial from a selectVars application. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
selvvvval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
selvvvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvvvval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
selvvvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
selvvvval.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
selvvvval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
selvvvval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
selvvvval (πœ‘ β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐽   𝑅,β„Ž   β„Ž,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐡(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑃(β„Ž)   𝐹(β„Ž)
Proof of Theorem selvvvval
Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑑 𝑒 𝑣 𝑀 𝑓 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvvvval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvvvval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2725 . . . . . 6 ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
5 eqid 2725 . . . . . 6 (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
6 eqid 2725 . . . . . 6 ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
7 selvvvval.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
8 selvvvval.j . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
9 selvvvval.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9selvval2 41882 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = (((𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹))β€˜(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))))
11 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
13 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
14 selvvvval.d . . . . . 6 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
16 eqid 2725 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
17 eqid 2725 . . . . . 6 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
18 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
191, 2mplrcl 21943 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
209, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
2120, 8ssexd 5319 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
2220difexd 5326 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
233, 22, 7mplcrngd 41835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing)
244, 21, 23mplcrngd 41835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CRing)
254mplassa 21971 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ V ∧ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing) β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg)
2621, 23, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg)
27 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
285, 27asclrhm 21827 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
303mplassa 21971 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
3122, 7, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
3432, 33asclrhm 21827 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ ((Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) RingHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ ((Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) RingHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
363, 22, 7mplsca 21962 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
3736eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = 𝑅)
384, 21, 23mplsca 21962 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) = (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
3937, 38oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) RingHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (𝑅 RingHom (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
4035, 39eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ (𝑅 RingHom (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
41 rhmco 20444 . . . . . . . . 9 (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∧ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ (𝑅 RingHom (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
4229, 40, 41syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
43 rhmghm 20427 . . . . . . . 8 (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 GrpHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
44 ghmmhm 19184 . . . . . . . 8 (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 GrpHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 MndHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 MndHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
461, 12, 2, 13, 45, 9mhmcompl 41841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
47 fvexd 6907 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
4923crngringd 20190 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Ring)
504, 48, 15, 21, 49mvrf2 21942 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)):𝐽⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
5150ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
5251adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
53 eldif 3949 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐽))
54 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
554, 15, 54, 5, 21, 49mplasclf 22016 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))):(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))):(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
57 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)
587crngringd 20190 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
593, 57, 54, 22, 58mvrf2 21942 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
6059ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
6156, 60ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
6253, 61sylan2br 593 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐽)) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
6362anassrs 466 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
6452, 63ifclda 4559 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
6564fmpttd 7120 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)))):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
6647, 20, 65elmapdd 8858 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)))) ∈ ((Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↑m 𝐼))
6711, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 24, 46, 66evlvvval 41871 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹))β€˜(𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))) = ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”)(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))))))))
68 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
691, 68, 2, 14, 9mplelf 21947 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
7069adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
71 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑔 ∈ 𝐷)
7270, 71fvco3d 6993 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”) = (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(πΉβ€˜π‘”)))
733, 54, 68, 32, 22, 58mplasclf 22016 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
7473adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)):(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
7569ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘”) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7674, 75fvco3d 6993 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(πΉβ€˜π‘”)) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))))
7772, 76eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))))
7816, 15mgpbas 20084 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
79 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
8016, 18mgpplusg 20082 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
8116crngmgp 20185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CMnd)
8224, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CMnd)
8382adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CMnd)
8420adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ V)
8582cmnmndd 19763 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
8714psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ 𝐷 β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„•0)
8887adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑔:πΌβŸΆβ„•0)
8988ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
90 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))
91 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘˜ β†’ (𝑧 ∈ 𝐽 ↔ π‘˜ ∈ 𝐽))
92 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘˜ β†’ ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§) = ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))
93 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘˜ β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§) = (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))
9493fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘˜ β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§)) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))
9591, 92, 94ifbieq12d 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘˜ β†’ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))) = if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
96 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
9750ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)):𝐽⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
9897ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
99 eldif 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐽))
10055adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))):(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
10159ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
102100, 101ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
10399, 102sylan2br 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐽)) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
104103anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
105104adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
10698, 105ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
10790, 95, 96, 106fvmptd3 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
108107, 106eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
10978, 17, 86, 89, 108mulgnn0cld 19054 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
110109fmpttd 7120 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
11188feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑔 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘”β€˜π‘˜)))
11214psrbagfsupp 21857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ 𝐷 β†’ 𝑔 finSupp 0)
113112adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑔 finSupp 0)
114111, 113eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘”β€˜π‘˜)) finSupp 0)
11578, 79, 17mulg0 19034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))𝑑) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
116115adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))𝑑) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
117 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ V)
118114, 116, 89, 108, 117fsuppssov1 9407 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
119 disjdifr 4468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) ∩ 𝐽) = βˆ…)
121 undifr 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
1228, 121sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽) = 𝐼)
123122eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽))
124123adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 = ((𝐼 βˆ– 𝐽) βˆͺ 𝐽))
12578, 79, 80, 83, 84, 110, 118, 120, 124gsumsplit 19887 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)))) = (((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ 𝐽))))
126 eldifi 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
127126adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
128126, 106sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
12990, 95, 127, 128fvmptd3 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
130 eldifn 4120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐽)
131130adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐽)
132131iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))
133129, 132eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))
134133oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
135 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
136135, 16rhmmhm 20422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
13729, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
138137ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
139126, 89sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
140101adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
14138fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
142141ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
143140, 142eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
144 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
145135, 144mgpbas 20084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
146 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
147145, 146, 17mhmmulg 19074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∧ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β„•0 ∧ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
148138, 139, 143, 147syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
149134, 148eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
150149mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
151 difssd 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
152151resmptd 6039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))))
15355adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))):(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
15438fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
155154fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))))
156155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))))
157156oveqd 7433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))
158 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
159158, 54mgpbas 20084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
160 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
161158crngmgp 20185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
16223, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
163162cmnmndd 19763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Mnd)
164163ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Mnd)
165159, 160, 164, 139, 140mulgnn0cld 19054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
166157, 165eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
167153, 166cofmpt 7137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
168150, 152, 1673eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
169168oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))))
170 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
17138, 23eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CRing)
172135crngmgp 20185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ CMnd)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ CMnd)
174173adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ CMnd)
17585adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
17622adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
177137adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
178166, 142eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
179178fmpttd 7120 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
180 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„€)
181114, 151, 180fmptssfisupp 9417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (π‘”β€˜π‘˜)) finSupp 0)
182141eqimssd 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
183182sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
184183adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
185145, 170, 146mulg0 19034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))𝑒) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))))
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))𝑒) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))))
187 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))) ∈ V)
188181, 186, 139, 140, 187fsuppssov1 9407 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))))
189145, 170, 174, 175, 176, 177, 179, 188gsummhm 19897 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))))
190169, 189eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))))
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
192191resmptd 6039 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ 𝐽) = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))))
193191sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
194193, 106syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
19590, 95, 193, 194fvmptd3 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
196 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝐽 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))
197196adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))
198195, 197eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜) = ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))
199198oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))
200199mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))
201192, 200eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ 𝐽) = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))
202201oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ 𝐽)) = ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))
203190, 202oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))) β†Ύ 𝐽))) = (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))
20426adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg)
205145, 170, 174, 176, 179, 188gsumcl 19874 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
20621adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝐽 ∈ V)
20785ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ (mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
208193, 89syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ (π‘”β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
20950ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
210209adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
21178, 17, 207, 208, 210mulgnn0cld 19054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
212211fmpttd 7120 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))):𝐽⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
213114, 191, 180fmptssfisupp 9417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ (π‘”β€˜π‘˜)) finSupp 0)
214213, 116, 208, 210, 117fsuppssov1 9407 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
21578, 79, 83, 206, 212, 214gsumcl 19874 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
216 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = ( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
2175, 27, 144, 15, 18, 216asclmul1 21823 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg ∧ ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∧ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))
218204, 205, 215, 217syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))
219155oveqd 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))
220219mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
221154, 220oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
222221adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
223222oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))) = (((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))
224218, 223eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))) = (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))
225125, 203, 2243eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)))) = (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))
22677, 225oveq12d 7434 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”)(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))))) = (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))
22774, 75ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
228141adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
229227, 228eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
2304, 21, 49mpllmodd 41833 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ LMod)
231230adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ LMod)
232 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
233162adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
234165fmpttd 7120 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))):(𝐼 βˆ– 𝐽)⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
235159, 232, 160mulg0 19034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))𝑒) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
236235adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))𝑒) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
237 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
238181, 236, 139, 140, 237fsuppssov1 9407 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) finSupp (0gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
239159, 232, 233, 176, 234, 238gsumcl 19874 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
240239, 228eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
24115, 27, 216, 144, 231, 240, 215lmodvscld 20766 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
2425, 27, 144, 15, 18, 216asclmul1 21823 . . . . . . . . 9 (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg ∧ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∧ (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))) = (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))
243204, 229, 241, 242syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)))(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))) = (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))
244226, 243eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”)(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))))) = (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))
245244mpteq2dva 5243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”)(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜)))))) = (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))
246245oveq2d 7432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)β€˜π‘”)(.rβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘§), ((algScβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘§))))β€˜π‘˜))))))) = ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))
24710, 67, 2463eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))
248247fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
249248fveq1d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
250 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
25149ringcmnd 20224 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CMnd)
2527crnggrpd 20191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
253252grpmndd 18907 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
254 ovex 7449 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
25514, 254rabex2 5331 . . . . 5 𝐷 ∈ V
256255a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
257 eqid 2725 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin}
258 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
259 difssd 4125 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) βŠ† 𝐼)
260 selvvvval.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
26114, 257, 20, 259, 260psrbagres 41832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin})
2623, 54, 257, 258, 22, 252, 261mplmapghm 41854 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∈ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) GrpHom 𝑅))
263 ghmmhm 19184 . . . . 5 ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∈ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) GrpHom 𝑅) β†’ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∈ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) MndHom 𝑅))
264262, 263syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∈ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) MndHom 𝑅))
265 eqid 2725 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}
266 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
2674, 54, 15, 265, 266mplelf 21947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ 𝑀:{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
26814, 265, 20, 8, 260psrbagres 41832 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ β†Ύ 𝐽) ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin})
269268adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ (π‘Œ β†Ύ 𝐽) ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin})
270267, 269ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
271270fmpttd 7120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))):(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
27215, 27, 216, 144, 231, 229, 241lmodvscld 20766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
273272fmpttd 7120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))):𝐷⟢(Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
274271, 273fcod 6744 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))):𝐷⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
275 fvexd 6907 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ V)
27624crngringd 20190 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Ring)
277 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
27815, 277ring0cl 20207 . . . . . 6 ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Ring β†’ (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
279276, 278syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
280 ssidd 3996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) βŠ† (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
281255mptex 7231 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))) ∈ V
282281a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))) ∈ V)
283 fvexd 6907 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ V)
284 funmpt 6586 . . . . . . . 8 Fun (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)))
285284a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))))
286 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2871, 2, 286, 9, 7mplelsfi 21944 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
288 ssidd 3996 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))
289 fvexd 6907 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
29069, 288, 9, 289suppssrg 8200 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘”) = (0gβ€˜π‘…))
291290fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)) = ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(0gβ€˜π‘…)))
2923, 32, 286, 250, 22, 58mplascl0 41852 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
29338fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
294292, 293eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
295294adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
296291, 295eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
297296, 256suppss2 8204 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))) supp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))
298282, 283, 285, 287, 297fsuppsssuppgd 9405 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))) finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))))
299 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
30015, 27, 216, 299, 277lmod0vs 20782 . . . . . . 7 (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ LMod ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))𝑓) = (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
301230, 300sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))𝑓) = (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
302 fvexd 6907 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
303298, 301, 227, 241, 302fsuppssov1 9407 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))) finSupp (0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
304 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) = (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
30523crnggrpd 20191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Grp)
3064, 15, 265, 304, 21, 305, 268mplmapghm 41854 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) GrpHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
307 ghmmhm 19184 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) GrpHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) MndHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
308306, 307syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) MndHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
309277, 250mhm0 18750 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) MndHom ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜(0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
310308, 309syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜(0gβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
311275, 279, 273, 271, 280, 256, 47, 303, 310fsuppcor 9427 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))) finSupp (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
31254, 250, 251, 253, 256, 264, 274, 311gsummhm 19897 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∘ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))) = ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))))
313 fveq1 6891 . . . 4 (𝑣 = (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) β†’ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
31454, 250, 251, 256, 274, 311gsumcl 19874 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
315 fvexd 6907 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) ∈ V)
316258, 313, 314, 315fvmptd3 7023 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))) = ((((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
317276ringcmnd 20224 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
318305grpmndd 18907 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Mnd)
31915, 277, 317, 318, 256, 308, 273, 303gsummhm 19897 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) = ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))))
320 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑀 = ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))) β†’ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
32115, 277, 317, 256, 273, 303gsumcl 19874 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))) ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
322 fvexd 6907 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) ∈ V)
323304, 320, 321, 322fvmptd3 7023 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) = (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
324319, 323eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) = (((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
325324fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) Ξ£g ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
326312, 316, 3253eqtrrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∘ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))))
3274, 54, 15, 265, 272mplelf 21947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))):{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
328268adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘Œ β†Ύ 𝐽) ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin})
329327, 328ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
330 eqidd 2726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))) = (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))
331 eqidd 2726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) = (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))
332 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑀 = (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))) β†’ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = ((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
333272, 330, 331, 332fmptco 7134 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))) = (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ ((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))
334 eqidd 2726 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
335 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑣 = ((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) β†’ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
336329, 333, 334, 335fmptco 7134 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∘ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) = (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
337 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
3384, 216, 54, 15, 337, 265, 227, 241, 328mplvscaval 21965 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))
3394, 216, 54, 15, 337, 265, 239, 215, 328mplvscaval 21965 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))
340339oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) = (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))))
34131adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
34236fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
343342adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
34475, 343eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘”) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
34549adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Ring)
3464, 54, 15, 265, 215mplelf 21947 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))):{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
347346, 328ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
34854, 337, 345, 239, 347ringcld 20203 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
349 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
350 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
35132, 33, 349, 54, 337, 350asclmul1 21823 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (πΉβ€˜π‘”) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∧ (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) β†’ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))) = ((πΉβ€˜π‘”)( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))))
352341, 344, 348, 351syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))) = ((πΉβ€˜π‘”)( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))))
353338, 340, 3523eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = ((πΉβ€˜π‘”)( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))))
354353fveq1d 6894 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (((πΉβ€˜π‘”)( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
355 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
356261adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin})
3573, 350, 68, 54, 355, 257, 75, 348, 356mplvscaval 21965 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((πΉβ€˜π‘”)( ·𝑠 β€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
358 ovif2 7516 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
359358fveq1i 6893 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
360 iffv 6909 . . . . . . . . . . . 12 (if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
361359, 360eqtri 2753 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
362 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ↔ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
363362ifbid 4547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
364 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))
365 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
36658adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
36714, 257, 84, 151, 71psrbagres 41832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin})
3683, 54, 286, 365, 257, 176, 366, 367mplmon 21980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
36954, 337, 364, 345, 368ringridmd 20213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
370 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ V)
371 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
372370, 371ifcld 4570 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ V)
373363, 369, 356, 372fvmptd4 7024 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
37454, 337, 250, 345, 368ringrzd 20236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))
3753, 257, 286, 250, 22, 252mpl0 21955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = ({𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
376375adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) = ({𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
377374, 376eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = ({𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
378377fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (({𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
379 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
380379fvconst2 7212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (({𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (0gβ€˜π‘…))
381356, 380syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (({𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} Γ— {(0gβ€˜π‘…)})β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (0gβ€˜π‘…))
382378, 381eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (0gβ€˜π‘…))
383373, 382ifeq12d 4545 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)), (0gβ€˜π‘…)))
384361, 383eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)), (0gβ€˜π‘…)))
385384oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)), (0gβ€˜π‘…))))
386 ifan 4577 . . . . . . . . . . 11 if(((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)), (0gβ€˜π‘…))
387386oveq2i 7427 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if(((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)), (0gβ€˜π‘…)))
38814psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
389260, 388syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
390389ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Œ Fn 𝐼)
391390adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ Fn 𝐼)
392 undif 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 βŠ† 𝐼 ↔ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
3938, 392sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
394393adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = 𝐼)
395394fneq2d 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘Œ Fn (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ↔ π‘Œ Fn 𝐼))
396391, 395mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ Fn (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
39788ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑔 Fn 𝐼)
398394fneq2d 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑔 Fn (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ↔ 𝑔 Fn 𝐼))
399397, 398mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑔 Fn (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)))
400 eqfnun 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Œ Fn (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∧ 𝑔 Fn (𝐽 βˆͺ (𝐼 βˆ– 𝐽))) β†’ (π‘Œ = 𝑔 ↔ ((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
401396, 399, 400syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘Œ = 𝑔 ↔ ((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
402401ifbid 4547 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = if(((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
403402oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if(π‘Œ = 𝑔, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if(((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
404 ovif2 7516 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if(π‘Œ = 𝑔, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = if(π‘Œ = 𝑔, ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)), ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
405403, 404eqtr3di 2780 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if(((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∧ (π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = if(π‘Œ = 𝑔, ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)), ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…))))
406387, 405eqtr3id 2779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), if((π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)), (0gβ€˜π‘…))) = if(π‘Œ = 𝑔, ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)), ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…))))
407385, 406eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = if(π‘Œ = 𝑔, ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)), ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…))))
4087adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4093, 257, 286, 365, 176, 158, 160, 57, 408, 367mplcoe2 21986 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
410 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
411410fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜) = (π‘”β€˜π‘˜))
412411oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ (((𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))
413412mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))
414413oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ (((𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
415409, 414eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜)))))
416 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
417 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (π‘Œ β†Ύ 𝐽) β†’ (𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽) ↔ (π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽)))
418417ifbid 4547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (π‘Œ β†Ύ 𝐽) β†’ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
419 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ V)
420 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ V)
421419, 420ifcld 4570 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
422416, 418, 328, 421fvmptd3 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))
42323adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing)
42414, 265, 84, 191, 71psrbagres 41832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑔 β†Ύ 𝐽) ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin})
4254, 265, 250, 364, 206, 16, 17, 48, 423, 424mplcoe2 21986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ (((𝑔 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))
426 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ π‘˜ ∈ 𝐽)
427426fvresd 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ ((𝑔 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘˜) = (π‘”β€˜π‘˜))
428427oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) ∧ π‘˜ ∈ 𝐽) β†’ (((𝑔 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)) = ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))
429428mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ (((𝑔 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))
430429oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ (((𝑔 β†Ύ 𝐽)β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))) = ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))
431425, 430eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = ((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))
432431fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐽) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)) = (((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
433422, 432eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) = (((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))
434415, 433oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))) = (((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))))
435434fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = ((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))))
436435oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (β„•0 ↑m (𝐼 βˆ– 𝐽)) ∣ (◑𝑦 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))if((π‘Œ β†Ύ 𝐽) = (𝑔 β†Ύ 𝐽), (1rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)), (0gβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))))
43768, 355, 365, 366, 75ringridmd 20213 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (πΉβ€˜π‘”))
43868, 355, 286, 366, 75ringrzd 20236 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
439437, 438ifeq12d 4545 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if(π‘Œ = 𝑔, ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)), ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…))) = if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))
440407, 436, 4393eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘”)(.rβ€˜π‘…)((((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))(.rβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽)))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))
441354, 357, 4403eqtrd 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))
442441mpteq2dva 5243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) = (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))))
443336, 442eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∘ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜))))))))) = (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))))
444443oveq2d 7432 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∘ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))))
44558ringcmnd 20224 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
44668, 286ring0cl 20207 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44758, 446syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
448447adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
44975, 448ifcld 4570 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐷) β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
450449fmpttd 7120 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
451 eldifsnneq 4790 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– {π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑔 = π‘Œ)
452451neqcomd 2735 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– {π‘Œ}) β†’ Β¬ π‘Œ = 𝑔)
453452iffalsed 4535 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– {π‘Œ}) β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
454453adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐷 βˆ– {π‘Œ})) β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
455454, 256suppss2 8204 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {π‘Œ})
456256mptexd 7232 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V)
457 funmpt 6586 . . . . . 6 Fun (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))
458457a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))))
459 snfi 9067 . . . . . . 7 {π‘Œ} ∈ Fin
460459a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} ∈ Fin)
461460, 455ssfid 9290 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
462456, 447, 458, 461isfsuppd 9390 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
46368, 286, 445, 256, 450, 455, 462gsumres 19872 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) β†Ύ {π‘Œ})) = (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))))
464260snssd 4808 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝐷)
465464resmptd 6039 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) β†Ύ {π‘Œ}) = (𝑔 ∈ {π‘Œ} ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))))
466465oveq2d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) β†Ύ {π‘Œ})) = (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∈ {π‘Œ} ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))))
46769, 260ffvelcdmd 7090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
468 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (π‘Œ = 𝑔 β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)) = (πΉβ€˜π‘”))
469468eqcoms 2733 . . . . . . 7 (𝑔 = π‘Œ β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)) = (πΉβ€˜π‘”))
470 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑔 = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘”) = (πΉβ€˜π‘Œ))
471469, 470eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑔 = π‘Œ β†’ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)) = (πΉβ€˜π‘Œ))
47268, 471gsumsn 19913 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ π‘Œ ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∈ {π‘Œ} ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
473253, 260, 467, 472syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑔 ∈ {π‘Œ} ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…)))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
474466, 473eqtrd 2765 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑔 ∈ 𝐷 ↦ if(π‘Œ = 𝑔, (πΉβ€˜π‘”), (0gβ€˜π‘…))) β†Ύ {π‘Œ})) = (πΉβ€˜π‘Œ))
475444, 463, 4743eqtr2d 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (π‘£β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽)))) ∘ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (π‘€β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))) ∘ (𝑔 ∈ 𝐷 ↦ (((algScβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘”))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)) Ξ£g (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘˜))))( ·𝑠 β€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ ((π‘”β€˜π‘˜)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝐽 mPoly ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅))β€˜π‘˜)))))))))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
476249, 326, 4753eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ (((((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ)β€˜(π‘Œ β†Ύ 𝐽))β€˜(π‘Œ β†Ύ (𝐼 βˆ– 𝐽))) = (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962   finSupp cfsupp 9385  0cc0 11138  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18737  .gcmg 19027   GrpHom cghm 19171  CMndccmn 19739  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412  LModclmod 20747  AssAlgcasa 21788  algSccascl 21790   mVar cmvr 21842   mPoly cmpl 21843   eval cevl 22024   selectVars cslv 22061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-evls 22025  df-evl 22026  df-selv 22065
This theorem is referenced by:  evlselv  41885
  Copyright terms: Public domain W3C validator