Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvvvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvvvval 41646
Description: Recover the original polynomial from a selectVars application. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
selvvvval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
selvvvval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvvvval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvvvval.i (𝜑𝐼𝑉)
selvvvval.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvvvval.j (𝜑𝐽𝐼)
selvvvval.f (𝜑𝐹𝐵)
selvvvval.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
selvvvval (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹)‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (𝐹𝑌))
Distinct variable groups:   ,𝐼   ,𝐽   𝑅,   ,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐷()   𝑃()   𝐹()   𝑉()

Proof of Theorem selvvvval
Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑖 𝑗 𝑘 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvvvval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvvvval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 eqid 2724 . . . . . 6 ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
4 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
5 eqid 2724 . . . . . 6 (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
6 eqid 2724 . . . . . 6 ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
7 selvvvval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 selvvvval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9 selvvvval.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝐼)
10 selvvvval.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10selvval2 41645 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹))‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))))
12 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
13 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
14 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
15 selvvvval.d . . . . . 6 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
16 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
17 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
18 eqid 2724 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
19 eqid 2724 . . . . . 6 (.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
207, 9ssexd 5314 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ V)
217difexd 5319 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
223, 21, 8mplcrngd 41607 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing)
234, 20, 22mplcrngd 41607 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CRing)
244mplassa 21891 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ V ∧ ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing) → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg)
2520, 22, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg)
26 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
275, 26asclrhm 21752 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
2825, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
293mplassa 21891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
3021, 8, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
31 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
32 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
3331, 32asclrhm 21752 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg → (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ ((Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) RingHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ ((Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) RingHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
353, 21, 8mplsca 21882 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
3635eqcomd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = 𝑅)
374, 20, 22mplsca 21882 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) = (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
3836, 37oveq12d 7419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) RingHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (𝑅 RingHom (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
3934, 38eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ (𝑅 RingHom (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
40 rhmco 20393 . . . . . . . . 9 (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∧ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ (𝑅 RingHom (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
4128, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
42 rhmghm 20376 . . . . . . . 8 (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 GrpHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
43 ghmmhm 19141 . . . . . . . 8 (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 GrpHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 MndHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (𝑅 MndHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
451, 13, 2, 14, 7, 44, 10mhmcompl 41609 . . . . . 6 (𝜑 → (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
46 fvexd 6896 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
47 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
4822crngringd 20141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Ring)
494, 47, 16, 20, 48mvrf2 21862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)):𝐽⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
5049ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐽) → ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
5150adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
52 eldif 3950 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼𝐽) ↔ (𝑧𝐼 ∧ ¬ 𝑧𝐽))
53 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
544, 16, 53, 5, 20, 48mplasclf 21936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))):(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))):(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
56 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼𝐽) mVar 𝑅)
578crngringd 20141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
583, 56, 53, 21, 57mvrf2 21862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mVar 𝑅):(𝐼𝐽)⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
5958ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
6055, 59ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
6152, 60sylan2br 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼 ∧ ¬ 𝑧𝐽)) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
6261anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
6351, 62ifclda 4555 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐼) → if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
6463fmpttd 7106 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)))):𝐼⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
6546, 7, 64elmapdd 8831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)))) ∈ ((Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↑m 𝐼))
6612, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 23, 45, 65evlvvval 41634 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼 eval (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹))‘(𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))) = ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔)(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))))))
67 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
681, 67, 2, 15, 10mplelf 21867 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑅))
70 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑔𝐷)
7169, 70fvco3d 6981 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔) = (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝐹𝑔)))
723, 53, 67, 31, 21, 57mplasclf 21936 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
7468ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐹𝑔) ∈ (Base‘𝑅))
7573, 74fvco3d 6981 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝐹𝑔)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))))
7671, 75eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))))
7717, 16mgpbas 20035 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (Base‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
78 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
7917, 19mgpplusg 20033 . . . . . . . . . . . 12 (.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
8017crngmgp 20136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CRing → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CMnd)
8123, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CMnd)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CMnd)
837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝐼𝑉)
8481cmnmndd 19714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
8615psrbagf 21780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔𝐷𝑔:𝐼⟶ℕ0)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑔:𝐼⟶ℕ0)
8887ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑔𝑘) ∈ ℕ0)
89 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))
90 eleq1w 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑘 → (𝑧𝐽𝑘𝐽))
91 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧) = ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))
92 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑘 → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧) = (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))
9392fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑘 → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧)) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
9490, 91, 93ifbieq12d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑘 → if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))) = if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
9649ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐽) → ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
9796adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
9897adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
99 eldif 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↔ (𝑘𝐼 ∧ ¬ 𝑘𝐽))
10054adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))):(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
10158ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
102100, 101ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
10399, 102sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐼 ∧ ¬ 𝑘𝐽)) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
104103anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ ¬ 𝑘𝐽) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
105104adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) ∧ ¬ 𝑘𝐽) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
10698, 105ifclda 4555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
10789, 94, 95, 106fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘) = if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
108107, 106eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
10977, 18, 85, 88, 108mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
110109fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))):𝐼⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
1117mptexd 7217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ∈ V)
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ∈ V)
113 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ V)
114 funmpt 6576 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)))
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → Fun (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))
11687feqmptd 6950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑔 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑔𝑘)))
11715psrbagfsupp 21782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔𝐷𝑔 finSupp 0)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑔 finSupp 0)
119116, 118eqbrtrrd 5162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑔𝑘)) finSupp 0)
120 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑔𝑘)) supp 0) ⊆ ((𝑘𝐼 ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
12177, 78, 18mulg0 18992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → (0(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))𝑡) = (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → (0(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))𝑡) = (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
123 0zd 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 0 ∈ ℤ)
124120, 122, 88, 108, 123suppssov1 8177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) supp (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) ⊆ ((𝑘𝐼 ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
125112, 113, 115, 119, 124fsuppsssuppgd 41557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) finSupp (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
126 disjdifr 4464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝐽) ∩ 𝐽) = ∅
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐼𝐽) ∩ 𝐽) = ∅)
128 undifr 4474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽𝐼 ↔ ((𝐼𝐽) ∪ 𝐽) = 𝐼)
1299, 128sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐼𝐽) ∪ 𝐽) = 𝐼)
130129eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 = ((𝐼𝐽) ∪ 𝐽))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝐼 = ((𝐼𝐽) ∪ 𝐽))
13277, 78, 79, 82, 83, 110, 125, 127, 131gsumsplit 19838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)))) = (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ (𝐼𝐽)))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ 𝐽))))
133 difssd 4124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐼𝐽) ⊆ 𝐼)
134133resmptd 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))
135 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑘𝐼)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑘𝐼)
137135, 106sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
13889, 94, 136, 137fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘) = if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
139 eldifn 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) → ¬ 𝑘𝐽)
140139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ¬ 𝑘𝐽)
141140iffalsed 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
142138, 141eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
143142oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
144143mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
145134, 144eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
146145oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ (𝐼𝐽))) = ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))))
1479adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝐽𝐼)
148147resmptd 6030 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ 𝐽) = (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))
1499sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐽) → 𝑘𝐼)
150149adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝐼)
151150, 106syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
15289, 94, 150, 151fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘) = if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
153 iftrue 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝐽 → if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → if(𝑘𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))
155152, 154eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘) = ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))
156155oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))
157156mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) = (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))
158148, 157eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ 𝐽) = (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))
159158oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ 𝐽)) = ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))
160146, 159oveq12d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ (𝐼𝐽)))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))) ↾ 𝐽))) = (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
16154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔𝐷) → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))):(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
1624, 20, 30mplsca 21882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) = (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
163162fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
164163fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
165164ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
166165oveqd 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
167 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
168167, 53mgpbas 20035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
169 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
170167crngmgp 20136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing → (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
17122, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
172171cmnmndd 19714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Mnd)
173172ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Mnd)
174135, 88sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑔𝑘) ∈ ℕ0)
17521ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝐼𝐽) ∈ V)
17657ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
177 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑘 ∈ (𝐼𝐽))
1783, 56, 53, 175, 176, 177mvrcl 21861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
179168, 169, 173, 174, 178mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
180166, 179eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
181161, 180cofmpt 7122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
182 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
183182, 17rhmmhm 20371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) RingHom (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
18428, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
185184ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
186162fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
187186ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
188178, 187eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
189 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
190182, 189mgpbas 20035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (Base‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
191 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) = (.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
192190, 191, 18mhmmulg 19032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∧ (𝑔𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
193185, 174, 188, 192syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
194193mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
195181, 194eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
196195oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))) = ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))))
197 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) = (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
198162, 22eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CRing)
199182crngmgp 20136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ CRing → (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ CMnd)
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ CMnd)
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ CMnd)
20284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
20321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐼𝐽) ∈ V)
204184adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) MndHom (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
20537, 48eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Ring)
206182ringmgp 20134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Ring → (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ Mnd)
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ Mnd)
208207ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ Mnd)
209190, 191, 208, 174, 188mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
210209fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))):(𝐼𝐽)⟶(Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
21121mptexd 7217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ V)
212211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ V)
213 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) ∈ V)
214 funmpt 6576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
215214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
216119, 133, 123fmptssfisupp 9385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (𝑔𝑘)) finSupp 0)
217 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (𝑔𝑘)) supp 0) ⊆ ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
218186eqimssd 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
219218sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
220219adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → 𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
221190, 197, 191mulg0 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → (0(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))𝑢) = (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
222220, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑢 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → (0(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))𝑢) = (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
223101adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
224217, 222, 174, 223, 123suppssov1 8177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) supp (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))) ⊆ ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
225212, 213, 215, 216, 224fsuppsssuppgd 41557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) finSupp (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
226190, 197, 201, 202, 203, 204, 210, 225gsummhm 19848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))))
227196, 226eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))) = ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))))
228227oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) = (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
22925adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg)
23058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐼𝐽) mVar 𝑅):(𝐼𝐽)⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
231230ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
232217, 222, 174, 231, 123suppssov1 8177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) supp (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))) ⊆ ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
233212, 213, 215, 216, 232fsuppsssuppgd 41557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) finSupp (0g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
234190, 197, 201, 203, 210, 233gsumcl 19825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
23520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝐽 ∈ V)
23684ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → (mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ Mnd)
237150, 88syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → (𝑔𝑘) ∈ ℕ0)
23877, 18, 236, 237, 97mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
239238fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))):𝐽⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
24020mptexd 7217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))) ∈ V)
241240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))) ∈ V)
242 funmpt 6576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))
243242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → Fun (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))
244119, 147, 123fmptssfisupp 9385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐽 ↦ (𝑔𝑘)) finSupp 0)
245 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐽 ↦ (𝑔𝑘)) supp 0) ⊆ ((𝑘𝐽 ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
246245, 122, 237, 97, 123suppssov1 8177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))) supp (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) ⊆ ((𝑘𝐽 ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
247241, 113, 243, 244, 246fsuppsssuppgd 41557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))) finSupp (0g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
24877, 78, 82, 235, 239, 247gsumcl 19825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
249 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
2505, 26, 189, 16, 19, 249asclmul1 21748 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg ∧ ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∧ ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) = (((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
251229, 234, 248, 250syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) = (((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
252228, 251eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) = (((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
253132, 160, 2523eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)))) = (((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
254164oveqd 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
255254mpteq2dv 5240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
256163, 255oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
257256eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
258257adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
259258oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) = (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
260253, 259eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)))) = (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))
26176, 260oveq12d 7419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → (((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔)(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))) = (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))
26273, 74ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
263186adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
264262, 263eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
2654, 20, 48mpllmodd 41605 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ LMod)
266265adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ LMod)
267 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
268171adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
269179fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))):(𝐼𝐽)⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
27021mptexd 7217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ V)
271270adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) ∈ V)
272 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
273 funmpt 6576 . . . . . . . . . . . . . 14 Fun (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
274273a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
275168, 267, 169mulg0 18992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) → (0(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))𝑒) = (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
276275adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → (0(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))𝑒) = (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
277217, 276, 174, 178, 123suppssov1 8177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) supp (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ⊆ ((𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (𝑔𝑘)) supp 0))
278271, 272, 274, 216, 277fsuppsssuppgd 41557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) finSupp (0g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
279168, 267, 268, 203, 269, 278gsumcl 19825 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
280279, 263eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
28116, 26, 249, 189, 266, 280, 248lmodvscld 20715 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
2825, 26, 189, 16, 19, 249asclmul1 21748 . . . . . . . . 9 (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ AssAlg ∧ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)) ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∧ (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))) = (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))
283229, 264, 281, 282syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)))(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))) = (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))
284261, 283eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐷) → (((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔)(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))) = (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))
285284mpteq2dva 5238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ (((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔)(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘)))))) = (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))
286285oveq2d 7417 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ (algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∘ 𝐹)‘𝑔)(.r‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐼 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧𝐽, ((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑧), ((algSc‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑧))))‘𝑘))))))) = ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))
28711, 66, 2863eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))
288287fveq1d 6883 . . 3 (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹)‘(𝑌𝐽)) = (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽)))
289288fveq1d 6883 . 2 (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹)‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = ((((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
290 eqid 2724 . . . 4 (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
29148ringcmnd 20173 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CMnd)
2928crnggrpd 20142 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
293292grpmndd 18866 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
294 ovex 7434 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
29515, 294rabex2 5324 . . . . 5 𝐷 ∈ V
296295a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
297 eqid 2724 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
298 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
299 difssd 4124 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝐽) ⊆ 𝐼)
300 selvvvval.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐷)
30115, 297, 7, 299, 300psrbagres 41604 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
3023, 53, 297, 298, 21, 292, 301mplmapghm 41617 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∈ (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) GrpHom 𝑅))
303 ghmmhm 19141 . . . . 5 ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∈ (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) GrpHom 𝑅) → (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∈ (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) MndHom 𝑅))
304302, 303syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∈ (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) MndHom 𝑅))
305 eqid 2724 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
306 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → 𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
3074, 53, 16, 305, 306mplelf 21867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → 𝑤:{𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
30815, 305, 7, 9, 300psrbagres 41604 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌𝐽) ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
309308adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → (𝑌𝐽) ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
310307, 309ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → (𝑤‘(𝑌𝐽)) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
311310fmpttd 7106 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))):(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
31216, 26, 249, 189, 266, 264, 281lmodvscld 20715 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
313312fmpttd 7106 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))):𝐷⟶(Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
314311, 313fcod 6733 . . . 4 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))):𝐷⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
315 fvexd 6896 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ V)
31623crngringd 20141 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Ring)
317 eqid 2724 . . . . . . 7 (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
31816, 317ring0cl 20156 . . . . . 6 ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ Ring → (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
319316, 318syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
320 ssidd 3997 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ⊆ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
321295mptex 7216 . . . . . . 7 (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))) ∈ V
322321a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))) ∈ V)
323 fvexd 6896 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
324 funmpt 6576 . . . . . . 7 Fun (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))
325324a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))
326295mptex 7216 . . . . . . . 8 (𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) ∈ V
327326a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) ∈ V)
328 fvexd 6896 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ∈ V)
329 funmpt 6576 . . . . . . . 8 Fun (𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)))
330329a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))))
331 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3321, 2, 331, 10, 8mplelsfi 21864 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝑅))
333 ssidd 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
334 fvexd 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
33568, 333, 10, 334suppssrg 8176 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝐹𝑔) = (0g𝑅))
336335fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)) = ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(0g𝑅)))
3373, 31, 331, 290, 21, 57mplascl0 41615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(0g𝑅)) = (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
338162fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
339337, 338eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(0g𝑅)) = (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
340339adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(0g𝑅)) = (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
341336, 340eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐷 ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔)) = (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
342341, 296suppss2 8180 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) supp (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
343327, 328, 330, 332, 342fsuppsssuppgd 41557 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) finSupp (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
344 ssidd 3997 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) supp (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))) ⊆ ((𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) supp (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
345 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
34616, 26, 249, 345, 317lmod0vs 20731 . . . . . . . 8 (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ LMod ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))𝑓) = (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
347265, 346sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) → ((0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))𝑓) = (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
348344, 347, 262, 281, 328suppssov1 8177 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))) supp (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) ⊆ ((𝑔𝐷 ↦ ((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))) supp (0g‘(Scalar‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))))
349322, 323, 325, 343, 348fsuppsssuppgd 41557 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))) finSupp (0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
350 eqid 2724 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) = (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽)))
35122crnggrpd 20142 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Grp)
3524, 16, 305, 350, 20, 351, 308mplmapghm 41617 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) GrpHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
353 ghmmhm 19141 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) GrpHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) → (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) MndHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
354352, 353syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) MndHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
355317, 290mhm0 18714 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∈ ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) MndHom ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) → ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽)))‘(0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
356354, 355syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽)))‘(0g‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
357315, 319, 313, 311, 320, 296, 46, 349, 356fsuppcor 9395 . . . 4 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))) finSupp (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
35853, 290, 291, 293, 296, 304, 314, 357gsummhm 19848 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∘ ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))) = ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))‘(((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))))
359 fveq1 6880 . . . 4 (𝑣 = (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) → (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = ((((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
36053, 290, 291, 296, 314, 357gsumcl 19825 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
361 fvexd 6896 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) ∈ V)
362298, 359, 360, 361fvmptd3 7011 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))‘(((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))) = ((((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
363316ringcmnd 20173 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ CMnd)
364351grpmndd 18866 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Mnd)
36516, 317, 363, 364, 296, 354, 313, 349gsummhm 19848 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) = ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽)))‘((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))))
366 fveq1 6880 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))) → (𝑤‘(𝑌𝐽)) = (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽)))
36716, 317, 363, 296, 313, 349gsumcl 19825 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))) ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
368 fvexd 6896 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽)) ∈ V)
369350, 366, 367, 368fvmptd3 7011 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽)))‘((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) = (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽)))
370365, 369eqtrd 2764 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) = (((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽)))
371370fveq1d 6883 . . 3 (𝜑 → ((((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) Σg ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = ((((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
372358, 362, 3713eqtrrd 2769 . 2 (𝜑 → ((((𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (𝑅 Σg ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∘ ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))))
3734, 53, 16, 305, 312mplelf 21867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))):{𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
374308adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑌𝐽) ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
375373, 374ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽)) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
376 eqidd 2725 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))) = (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))
377 eqidd 2725 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) = (𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))))
378 fveq1 6880 . . . . . . 7 (𝑤 = (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))) → (𝑤‘(𝑌𝐽)) = ((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽)))
379312, 376, 377, 378fmptco 7119 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))) = (𝑔𝐷 ↦ ((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽))))
380 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = (𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))))
381 fveq1 6880 . . . . . 6 (𝑣 = ((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽)) → (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
382375, 379, 380, 381fmptco 7119 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∘ ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) = (𝑔𝐷 ↦ (((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))))
383 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
3844, 249, 53, 16, 383, 305, 262, 281, 374mplvscaval 21885 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽)) = (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))‘(𝑌𝐽))))
3854, 249, 53, 16, 383, 305, 279, 248, 374mplvscaval 21885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))‘(𝑌𝐽)) = (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))))
386385oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))‘(𝑌𝐽))) = (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))))
38730adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg)
38835fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
389388adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
39074, 389eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐹𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
39148adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ Ring)
3924, 53, 16, 305, 248mplelf 21867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))):{𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
393392, 374ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
39453, 383, 391, 279, 393ringcld 20152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
395 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (Base‘(Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
396 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
39731, 32, 395, 53, 383, 396asclmul1 21748 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐹𝑔) ∈ (Base‘(Scalar‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∧ (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) → (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))) = ((𝐹𝑔)( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))))
398387, 390, 394, 397syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))) = ((𝐹𝑔)( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))))
399384, 386, 3983eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽)) = ((𝐹𝑔)( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))))
400399fveq1d 6883 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐷) → (((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (((𝐹𝑔)( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
401 eqid 2724 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
402301adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
4033, 396, 67, 53, 401, 297, 74, 394, 402mplvscaval 21885 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐷) → (((𝐹𝑔)( ·𝑠 ‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = ((𝐹𝑔)(.r𝑅)((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))))
404 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4058adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑅 ∈ CRing)
40615, 297, 83, 133, 70psrbagres 41604 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
4073, 297, 331, 404, 203, 167, 169, 56, 405, 406mplcoe2 21906 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅))) = ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (((𝑔 ↾ (𝐼𝐽))‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
408177fvresd 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑔 ↾ (𝐼𝐽))‘𝑘) = (𝑔𝑘))
409408oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼𝐽)) → (((𝑔 ↾ (𝐼𝐽))‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))
410409mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (((𝑔 ↾ (𝐼𝐽))‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))
411410oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ (((𝑔 ↾ (𝐼𝐽))‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))) = ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
412407, 411eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅))) = ((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘)))))
413 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
414 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑌𝐽) → (𝑗 = (𝑔𝐽) ↔ (𝑌𝐽) = (𝑔𝐽)))
415414ifbid 4543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑌𝐽) → if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
416 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ V)
417 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ∈ V)
418416, 417ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ∈ V)
419413, 415, 374, 418fvmptd3 7011 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌𝐽)) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
420 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))
42122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅) ∈ CRing)
42215, 305, 83, 147, 70psrbagres 41604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑔𝐽) ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin})
4234, 305, 290, 420, 235, 17, 18, 47, 421, 422mplcoe2 21906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ (((𝑔𝐽)‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))
424 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → 𝑘𝐽)
425424fvresd 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → ((𝑔𝐽)‘𝑘) = (𝑔𝑘))
426425oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐷) ∧ 𝑘𝐽) → (((𝑔𝐽)‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)) = ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))
427426mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑘𝐽 ↦ (((𝑔𝐽)‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))) = (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))
428427oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ (((𝑔𝐽)‘𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))) = ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))
429423, 428eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = ((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))
430429fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐽) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑗 = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌𝐽)) = (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))
431419, 430eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))
432412, 431oveq12d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))))
433432eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽))) = ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))))
434433fveq1d 6883 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
435434oveq2d 7417 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))))
436 ovif2 7499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))
437436fveq1i 6882 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))
438 iffv 6898 . . . . . . . . . . . 12 (if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
439 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) → (𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)) ↔ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽))))
440439ifbid 4543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) → if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
44157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
4423, 53, 331, 404, 297, 203, 441, 406mplmon 21900 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
44353, 383, 420, 391, 442ringridmd 20162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
444 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (1r𝑅) ∈ V)
445 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
446444, 445ifcld 4566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ V)
447440, 443, 402, 446fvmptd4 41546 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
44853, 383, 290, 391, 442ringrzd 20185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) = (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))
449448fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = ((0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
4503, 297, 331, 290, 21, 292mpl0 21875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = ({𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
451450adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) = ({𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)}))
452451fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → ((0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (({𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))))
453 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) ∈ V
454453fvconst2 7197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → (({𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (0g𝑅))
455402, 454syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → (({𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} × {(0g𝑅)})‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (0g𝑅))
456449, 452, 4553eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (0g𝑅))
457447, 456ifeq12d 4541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))), (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅)))
458438, 457eqtrid 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → (if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))), ((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅)))
459437, 458eqtrid 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → (((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅)))
460459oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅))))
461 ifan 4573 . . . . . . . . . . 11 if(((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽))), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅))
462461oveq2i 7412 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if(((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽))), (1r𝑅), (0g𝑅))) = ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅)))
46315psrbagf 21780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌𝐷𝑌:𝐼⟶ℕ0)
464300, 463syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℕ0)
465464ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 Fn 𝐼)
466465adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑌 Fn 𝐼)
467 undif 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽𝐼 ↔ (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) = 𝐼)
4689, 467sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) = 𝐼)
469468adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) = 𝐼)
470469fneq2d 6633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑌 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) ↔ 𝑌 Fn 𝐼))
471466, 470mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑌 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)))
47287ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑔 Fn 𝐼)
473469fneq2d 6633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑔 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) ↔ 𝑔 Fn 𝐼))
474472, 473mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐷) → 𝑔 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)))
475 eqfnun 7028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) ∧ 𝑔 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽))) → (𝑌 = 𝑔 ↔ ((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)))))
476471, 474, 475syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐷) → (𝑌 = 𝑔 ↔ ((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)))))
477476ifbid 4543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐷) → if(𝑌 = 𝑔, (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽))), (1r𝑅), (0g𝑅)))
478477oveq2d 7417 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if(𝑌 = 𝑔, (1r𝑅), (0g𝑅))) = ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if(((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽))), (1r𝑅), (0g𝑅))))
479 ovif2 7499 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if(𝑌 = 𝑔, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑌 = 𝑔, ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(0g𝑅)))
480478, 479eqtr3di 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if(((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽) ∧ (𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽))), (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑌 = 𝑔, ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(0g𝑅))))
481462, 480eqtr3id 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), if((𝑌 ↾ (𝐼𝐽)) = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)), (0g𝑅))) = if(𝑌 = 𝑔, ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(0g𝑅))))
482460, 481eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(((𝑖 ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0m (𝐼𝐽)) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑖 = (𝑔 ↾ (𝐼𝐽)), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))if((𝑌𝐽) = (𝑔𝐽), (1r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)), (0g‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = if(𝑌 = 𝑔, ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(0g𝑅))))
48367, 401, 404, 441, 74ringridmd 20162 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝐹𝑔))
48467, 401, 331, 441, 74ringrzd 20185 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
485483, 484ifeq12d 4541 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐷) → if(𝑌 = 𝑔, ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(1r𝑅)), ((𝐹𝑔)(.r𝑅)(0g𝑅))) = if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))
486435, 482, 4853eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐷) → ((𝐹𝑔)(.r𝑅)((((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))(.r‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))(((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))‘(𝑌𝐽)))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))
487400, 403, 4863eqtrd 2768 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐷) → (((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))
488487mpteq2dva 5238 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ (((((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) = (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))))
489382, 488eqtrd 2764 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∘ ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘))))))))) = (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))))
490489oveq2d 7417 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∘ ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))) = (𝑅 Σg (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))))
49157ringcmnd 20173 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
49267, 331ring0cl 20156 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
49357, 492syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
494493adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐷) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
49574, 494ifcld 4566 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐷) → if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
496495fmpttd 7106 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
497 eldifsnneq 4786 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝐷 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑔 = 𝑌)
498497neqcomd 2734 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐷 ∖ {𝑌}) → ¬ 𝑌 = 𝑔)
499498iffalsed 4531 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷 ∖ {𝑌}) → if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
500499adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐷 ∖ {𝑌})) → if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
501500, 296suppss2 8180 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑌})
502296mptexd 7217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) ∈ V)
503 funmpt 6576 . . . . . 6 Fun (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))
504503a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))))
505 snfi 9040 . . . . . . 7 {𝑌} ∈ Fin
506505a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ∈ Fin)
507506, 501ssfid 9263 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
508502, 493, 504, 507isfsuppd 9362 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
50967, 331, 491, 296, 496, 501, 508gsumres 19823 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) ↾ {𝑌})) = (𝑅 Σg (𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))))
510300snssd 4804 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐷)
511510resmptd 6030 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) ↾ {𝑌}) = (𝑔 ∈ {𝑌} ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))))
512511oveq2d 7417 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) ↾ {𝑌})) = (𝑅 Σg (𝑔 ∈ {𝑌} ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))))
51368, 300ffvelcdmd 7077 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ (Base‘𝑅))
514 iftrue 4526 . . . . . . . 8 (𝑌 = 𝑔 → if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)) = (𝐹𝑔))
515 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑌 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝑌))
516515eqcoms 2732 . . . . . . . 8 (𝑌 = 𝑔 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝑌))
517514, 516eqtrd 2764 . . . . . . 7 (𝑌 = 𝑔 → if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)) = (𝐹𝑌))
518517eqcoms 2732 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑌 → if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)) = (𝐹𝑌))
51967, 518gsumsn 19864 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑌𝐷 ∧ (𝐹𝑌) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑔 ∈ {𝑌} ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))) = (𝐹𝑌))
520293, 300, 513, 519syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑔 ∈ {𝑌} ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅)))) = (𝐹𝑌))
521512, 520eqtrd 2764 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑔𝐷 ↦ if(𝑌 = 𝑔, (𝐹𝑔), (0g𝑅))) ↾ {𝑌})) = (𝐹𝑌))
522490, 509, 5213eqtr2d 2770 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg ((𝑣 ∈ (Base‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) ↦ (𝑣‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽)))) ∘ ((𝑤 ∈ (Base‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) ↦ (𝑤‘(𝑌𝐽))) ∘ (𝑔𝐷 ↦ (((algSc‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘(𝐹𝑔))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)) Σg (𝑘 ∈ (𝐼𝐽) ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑘))))( ·𝑠 ‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)))((mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))) Σg (𝑘𝐽 ↦ ((𝑔𝑘)(.g‘(mulGrp‘(𝐽 mPoly ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))))((𝐽 mVar ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅))‘𝑘)))))))))) = (𝐹𝑌))
523289, 372, 5223eqtrd 2768 1 (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹)‘(𝑌𝐽))‘(𝑌 ↾ (𝐼𝐽))) = (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3937  cun 3938  cin 3939  wss 3940  c0 4314  ifcif 4520  {csn 4620   class class class wbr 5138  cmpt 5221   × cxp 5664  ccnv 5665  cres 5668  cima 5669  ccom 5670  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140  m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  0cc0 11106  cn 12209  0cn0 12469  cz 12555  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384   Σg cgsu 17385  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18701  .gcmg 18985   GrpHom cghm 19128  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  LModclmod 20696  AssAlgcasa 21713  algSccascl 21715   mVar cmvr 21767   mPoly cmpl 21768   eval cevl 21944   selectVars cslv 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-evls 21945  df-evl 21946  df-selv 21985
This theorem is referenced by:  evlselv  41648
  Copyright terms: Public domain W3C validator