Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsnic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsnic 40523
Description: Given a free module with a singleton as the index set, that is, a free module of one-dimensional vectors, the function that maps each vector to its coordinate is a module isomorphism from that module to its ring of scalars seen as a module. (Contributed by Steven Nguyen, 18-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsnic.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod {𝐼})
frlmsnic.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼))
Assertion
Ref Expression
frlmsnic ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 LMIso (ringLMod‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊

Proof of Theorem frlmsnic
Dummy variables 𝑦 𝑢 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2736 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
3 eqid 2736 . . 3 ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
4 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
6 eqid 2736 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7 snex 5376 . . . . 5 {𝐼} ∈ V
8 frlmsnic.w . . . . . 6 𝑊 = (𝐾 freeLMod {𝐼})
98frlmlmod 21062 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Ring ∧ {𝐼} ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
107, 9mpan2 688 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
1110adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
12 rlmlmod 20581 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring → (ringLMod‘𝐾) ∈ LMod)
1312adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (ringLMod‘𝐾) ∈ LMod)
14 rlmsca 20576 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
168frlmsca 21066 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Ring ∧ {𝐼} ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
177, 16mpan2 688 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1817adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1915, 18eqtr3d 2778 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)) = (Scalar‘𝑊))
20 rlmbas 20571 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
21 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
22 rlmplusg 20572 . . . 4 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
23 lmodgrp 20236 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2411, 23syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝑊 ∈ Grp)
25 lmodgrp 20236 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝐾) ∈ LMod → (ringLMod‘𝐾) ∈ Grp)
2612, 25syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → (ringLMod‘𝐾) ∈ Grp)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (ringLMod‘𝐾) ∈ Grp)
28 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
298, 28, 1frlmbasf 21073 . . . . . . . 8 (({𝐼} ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
307, 29mpan 687 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
3130adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
32 snidg 4607 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → 𝐼 ∈ {𝐼})
3332adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ {𝐼})
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
3531, 34ffvelcdmd 7018 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥𝐼) ∈ (Base‘𝐾))
36 frlmsnic.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼))
3735, 36fmptd 7044 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝐾))
38 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐾 ∈ Ring)
397a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → {𝐼} ∈ V)
40 simprl 768 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
41 simprr 770 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
4233adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
43 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g𝐾)
448, 1, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 21frlmvplusgvalc 21080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼) = ((𝑥𝐼)(+g𝐾)(𝑦𝐼)))
4511adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
461, 21lmodvacl 20243 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
4745, 40, 41, 46syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
48 fveq1 6824 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑥(+g𝑊)𝑦) → (𝑡𝐼) = ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼))
49 fveq1 6824 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐼) = (𝑡𝐼))
5049cbvmptv 5205 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑡 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑡𝐼))
5136, 50eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑡 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑡𝐼))
52 fvexd 6840 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Base‘𝑊) → (𝑡𝐼) ∈ V)
5348, 51, 52fvmpt3 6935 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼))
5447, 53syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼))
5536a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼)))
56 fvexd 6840 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥𝐼) ∈ V)
5755, 56fvmpt2d 6944 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐹𝑥) = (𝑥𝐼))
5840, 57mpdan 684 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹𝑥) = (𝑥𝐼))
59 fveq1 6824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐼) = (𝑦𝐼))
60 fvexd 6840 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) → (𝑥𝐼) ∈ V)
6159, 36, 60fvmpt3 6935 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
6241, 61syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
6358, 62oveq12d 7355 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐹𝑥)(+g𝐾)(𝐹𝑦)) = ((𝑥𝐼)(+g𝐾)(𝑦𝐼)))
6444, 54, 633eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐾)(𝐹𝑦)))
651, 20, 21, 22, 24, 27, 37, 64isghmd 18939 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐾)))
667a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → {𝐼} ∈ V)
6718eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = 𝐾)
6867fveq2d 6829 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐾))
6968eleq2d 2822 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
7069biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
7170adantrr 714 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
72 simprr 770 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7333adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
74 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝐾) = (.r𝐾)
758, 1, 28, 66, 71, 72, 73, 2, 74frlmvscaval 21081 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼) = (𝑥(.r𝐾)(𝑦𝐼)))
76 rlmvsca 20578 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
7776oveqi 7350 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)(𝑦𝐼)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝑦𝐼))
7875, 77eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝑦𝐼)))
79 fveq1 6824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝐼) = (𝑢𝐼))
8079cbvmptv 5205 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑢 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑢𝐼))
8136, 80eqtri 2764 . . . . 5 𝐹 = (𝑢 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑢𝐼))
82 fveq1 6824 . . . . 5 (𝑢 = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) → (𝑢𝐼) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼))
837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → {𝐼} ∈ V)
8483, 9sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
8584adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
86 simprl 768 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
871, 4, 2, 6lmodvscl 20246 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
8885, 86, 72, 87syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
89 fvexd 6840 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼) ∈ V)
9081, 82, 88, 89fvmptd3 6954 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼))
91 fvex 6838 . . . . . . 7 (𝑥𝐼) ∈ V
9259, 36, 91fvmpt3i 6936 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
9372, 92syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
9493oveq2d 7353 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝑦𝐼)))
9578, 90, 943eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝐹𝑦)))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 19, 65, 95islmhmd 20407 . 2 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐾)))
97 simplr 766 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐼 ∈ V)
98 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
9997, 98fsnd 6810 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → {⟨𝐼, 𝑦⟩}:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
100 simpll 764 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
101 snfi 8909 . . . . . 6 {𝐼} ∈ Fin
1028, 28, 1frlmfielbas 40485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Ring ∧ {𝐼} ∈ Fin) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩} ∈ (Base‘𝑊) ↔ {⟨𝐼, 𝑦⟩}:{𝐼}⟶(Base‘𝐾)))
103100, 101, 102sylancl 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩} ∈ (Base‘𝑊) ↔ {⟨𝐼, 𝑦⟩}:{𝐼}⟶(Base‘𝐾)))
10499, 103mpbird 256 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → {⟨𝐼, 𝑦⟩} ∈ (Base‘𝑊))
105 fveq1 6824 . . . . . . . 8 (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} → (𝑥𝐼) = ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼))
106105adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → (𝑥𝐼) = ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼))
107 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → 𝐼 ∈ V)
108 vex 3445 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
109 fvsng 7108 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼) = 𝑦)
110107, 108, 109sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼) = 𝑦)
111106, 110eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → 𝑦 = (𝑥𝐼))
112111ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} → 𝑦 = (𝑥𝐼)))
113 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝐼 ∈ V)
11431adantrr 714 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
115114ffnd 6652 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝑥 Fn {𝐼})
116 fnsnbt 40460 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑥 Fn {𝐼} ↔ 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩}))
117116biimpd 228 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → (𝑥 Fn {𝐼} → 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩}))
118113, 115, 117sylc 65 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩})
119 opeq2 4818 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐼) → ⟨𝐼, 𝑦⟩ = ⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩)
120119sneqd 4585 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐼) → {⟨𝐼, 𝑦⟩} = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩})
121120eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐼) → (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} ↔ 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩}))
122118, 121syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑦 = (𝑥𝐼) → 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}))
123112, 122impbid 211 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} ↔ 𝑦 = (𝑥𝐼)))
12436, 35, 104, 123f1o2d 7585 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
12520a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
126125f1oeq3d 6764 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ↔ 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘(ringLMod‘𝐾))))
127124, 126mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘(ringLMod‘𝐾)))
128 eqid 2736 . . 3 (Base‘(ringLMod‘𝐾)) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
1291, 128islmim 20430 . 2 (𝐹 ∈ (𝑊 LMIso (ringLMod‘𝐾)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐾)) ∧ 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘(ringLMod‘𝐾))))
13096, 127, 129sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 LMIso (ringLMod‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  {csn 4573  cop 4579  cmpt 5175   Fn wfn 6474  wf 6475  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  Grpcgrp 18673  Ringcrg 19878  LModclmod 20229   LMHom clmhm 20387   LMIso clmim 20388  ringLModcrglmod 20537   freeLMod cfrlm 21059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lmhm 20390  df-lmim 20391  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator