Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmsnic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsnic 40716
Description: Given a free module with a singleton as the index set, that is, a free module of one-dimensional vectors, the function that maps each vector to its coordinate is a module isomorphism from that module to its ring of scalars seen as a module. (Contributed by Steven Nguyen, 18-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsnic.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod {𝐼})
frlmsnic.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼))
Assertion
Ref Expression
frlmsnic ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 LMIso (ringLMod‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐹   𝑥,𝑊

Proof of Theorem frlmsnic
Dummy variables 𝑦 𝑢 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2736 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
3 eqid 2736 . . 3 ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾)) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
4 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
6 eqid 2736 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7 snex 5388 . . . . 5 {𝐼} ∈ V
8 frlmsnic.w . . . . . 6 𝑊 = (𝐾 freeLMod {𝐼})
98frlmlmod 21155 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Ring ∧ {𝐼} ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
107, 9mpan2 689 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
1110adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
12 rlmlmod 20674 . . . 4 (𝐾 ∈ Ring → (ringLMod‘𝐾) ∈ LMod)
1312adantr 481 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (ringLMod‘𝐾) ∈ LMod)
14 rlmsca 20669 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
168frlmsca 21159 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Ring ∧ {𝐼} ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
177, 16mpan2 689 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1817adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1915, 18eqtr3d 2778 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Scalar‘(ringLMod‘𝐾)) = (Scalar‘𝑊))
20 rlmbas 20664 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
21 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
22 rlmplusg 20665 . . . 4 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
23 lmodgrp 20329 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2411, 23syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝑊 ∈ Grp)
25 lmodgrp 20329 . . . . . 6 ((ringLMod‘𝐾) ∈ LMod → (ringLMod‘𝐾) ∈ Grp)
2612, 25syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → (ringLMod‘𝐾) ∈ Grp)
2726adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (ringLMod‘𝐾) ∈ Grp)
28 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
298, 28, 1frlmbasf 21166 . . . . . . . 8 (({𝐼} ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
307, 29mpan 688 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
3130adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
32 snidg 4620 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → 𝐼 ∈ {𝐼})
3332adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ {𝐼})
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
3531, 34ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥𝐼) ∈ (Base‘𝐾))
36 frlmsnic.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼))
3735, 36fmptd 7062 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝐾))
38 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐾 ∈ Ring)
397a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → {𝐼} ∈ V)
40 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
41 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
4233adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
43 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g𝐾)
448, 1, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 21frlmvplusgvalc 21173 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼) = ((𝑥𝐼)(+g𝐾)(𝑦𝐼)))
4511adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
461, 21lmodvacl 20336 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
4745, 40, 41, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
48 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑥(+g𝑊)𝑦) → (𝑡𝐼) = ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼))
49 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐼) = (𝑡𝐼))
5049cbvmptv 5218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑡 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑡𝐼))
5136, 50eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑡 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑡𝐼))
52 fvexd 6857 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (Base‘𝑊) → (𝑡𝐼) ∈ V)
5348, 51, 52fvmpt3 6952 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼))
5447, 53syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑥(+g𝑊)𝑦)‘𝐼))
5536a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼)))
56 fvexd 6857 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥𝐼) ∈ V)
5755, 56fvmpt2d 6961 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐹𝑥) = (𝑥𝐼))
5840, 57mpdan 685 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹𝑥) = (𝑥𝐼))
59 fveq1 6841 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐼) = (𝑦𝐼))
60 fvexd 6857 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) → (𝑥𝐼) ∈ V)
6159, 36, 60fvmpt3 6952 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
6241, 61syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
6358, 62oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐹𝑥)(+g𝐾)(𝐹𝑦)) = ((𝑥𝐼)(+g𝐾)(𝑦𝐼)))
6444, 54, 633eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝐾)(𝐹𝑦)))
651, 20, 21, 22, 24, 27, 37, 64isghmd 19017 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐾)))
667a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → {𝐼} ∈ V)
6718eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = 𝐾)
6867fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘𝐾))
6968eleq2d 2823 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
7069biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
7170adantrr 715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
72 simprr 771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7333adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
74 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝐾) = (.r𝐾)
758, 1, 28, 66, 71, 72, 73, 2, 74frlmvscaval 21174 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼) = (𝑥(.r𝐾)(𝑦𝐼)))
76 rlmvsca 20671 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
7776oveqi 7370 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)(𝑦𝐼)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝑦𝐼))
7875, 77eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝑦𝐼)))
79 fveq1 6841 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝐼) = (𝑢𝐼))
8079cbvmptv 5218 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥𝐼)) = (𝑢 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑢𝐼))
8136, 80eqtri 2764 . . . . 5 𝐹 = (𝑢 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑢𝐼))
82 fveq1 6841 . . . . 5 (𝑢 = (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) → (𝑢𝐼) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼))
837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → {𝐼} ∈ V)
8483, 9sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝑊 ∈ LMod)
8584adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
86 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
871, 4, 2, 6lmodvscl 20339 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
8885, 86, 72, 87syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
89 fvexd 6857 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼) ∈ V)
9081, 82, 88, 89fvmptd3 6971 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)‘𝐼))
91 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝑥𝐼) ∈ V
9259, 36, 91fvmpt3i 6953 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
9372, 92syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹𝑦) = (𝑦𝐼))
9493oveq2d 7373 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝑦𝐼)))
9578, 90, 943eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))(𝐹𝑦)))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 19, 65, 95islmhmd 20500 . 2 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐾)))
97 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐼 ∈ V)
98 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
9997, 98fsnd 6827 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → {⟨𝐼, 𝑦⟩}:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
100 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
101 snfi 8988 . . . . . 6 {𝐼} ∈ Fin
1028, 28, 1frlmfielbas 40674 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Ring ∧ {𝐼} ∈ Fin) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩} ∈ (Base‘𝑊) ↔ {⟨𝐼, 𝑦⟩}:{𝐼}⟶(Base‘𝐾)))
103100, 101, 102sylancl 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩} ∈ (Base‘𝑊) ↔ {⟨𝐼, 𝑦⟩}:{𝐼}⟶(Base‘𝐾)))
10499, 103mpbird 256 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → {⟨𝐼, 𝑦⟩} ∈ (Base‘𝑊))
105 fveq1 6841 . . . . . . . 8 (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} → (𝑥𝐼) = ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼))
106105adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → (𝑥𝐼) = ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼))
107 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → 𝐼 ∈ V)
108 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
109 fvsng 7126 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼) = 𝑦)
110107, 108, 109sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → ({⟨𝐼, 𝑦⟩}‘𝐼) = 𝑦)
111106, 110eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) ∧ 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}) → 𝑦 = (𝑥𝐼))
112111ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} → 𝑦 = (𝑥𝐼)))
113 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝐼 ∈ V)
11431adantrr 715 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝑥:{𝐼}⟶(Base‘𝐾))
115114ffnd 6669 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝑥 Fn {𝐼})
116 fnsnbt 40656 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑥 Fn {𝐼} ↔ 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩}))
117116biimpd 228 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → (𝑥 Fn {𝐼} → 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩}))
118113, 115, 117sylc 65 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩})
119 opeq2 4831 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐼) → ⟨𝐼, 𝑦⟩ = ⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩)
120119sneqd 4598 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐼) → {⟨𝐼, 𝑦⟩} = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩})
121120eqeq2d 2747 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐼) → (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} ↔ 𝑥 = {⟨𝐼, (𝑥𝐼)⟩}))
122118, 121syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑦 = (𝑥𝐼) → 𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩}))
123112, 122impbid 211 . . . 4 (((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑥 = {⟨𝐼, 𝑦⟩} ↔ 𝑦 = (𝑥𝐼)))
12436, 35, 104, 123f1o2d 7607 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
12520a1i 11 . . . 4 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
126125f1oeq3d 6781 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝐾) ↔ 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘(ringLMod‘𝐾))))
127124, 126mpbid 231 . 2 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘(ringLMod‘𝐾)))
128 eqid 2736 . . 3 (Base‘(ringLMod‘𝐾)) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
1291, 128islmim 20523 . 2 (𝐹 ∈ (𝑊 LMIso (ringLMod‘𝐾)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐾)) ∧ 𝐹:(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘(ringLMod‘𝐾))))
13096, 127, 129sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐹 ∈ (𝑊 LMIso (ringLMod‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586  cop 4592  cmpt 5188   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  LModclmod 20322   LMHom clmhm 20480   LMIso clmim 20481  ringLModcrglmod 20630   freeLMod cfrlm 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lmim 20484  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator