MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvscl 20493
Description: Closure of scalar product for a left module. (hvmulcl 30304 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvscl.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvscl.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvscl.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvscl ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
Proof of Theorem lmodvscl
StepHypRef Expression
1 biid 260 . 2 (π‘Š ∈ LMod ↔ π‘Š ∈ LMod)
2 pm4.24 564 . 2 (𝑅 ∈ 𝐾 ↔ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾))
3 pm4.24 564 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
4 lmodvscl.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lmodvscl.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lmodvscl.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lmodvscl.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
9 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
10 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
11 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lmodlema 20480 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑅(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋))) ∧ (((𝑅(.rβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = (𝑅 Β· (𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)))
1312simpld 495 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)𝑋)) = ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋)) ∧ ((𝑅(+gβ€˜πΉ)𝑅) Β· 𝑋) = ((𝑅 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑅 Β· 𝑋))))
1413simp1d 1142 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
151, 2, 3, 14syl3anb 1161 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  1rcur 20006  LModclmod 20475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414  df-lmod 20477
This theorem is referenced by:  lmodvscld  20494  lmodscaf  20499  lmod0vs  20510  lmodvsmmulgdi  20512  lcomf  20516  lmodvneg1  20520  lmodvsneg  20521  lmodnegadd  20526  lmodsubvs  20533  lmodsubdi  20534  lmodsubdir  20535  lmodvsghm  20538  lmodprop2d  20539  lss1  20554  lssvsubcl  20559  lssvscl  20571  lss1d  20579  lssacs  20583  prdsvscacl  20584  lmodvsinv  20652  lmodvsinv2  20653  islmhm2  20654  0lmhm  20656  idlmhm  20657  lmhmco  20659  lmhmplusg  20660  lmhmvsca  20661  lmhmf1o  20662  lmhmpreima  20664  lmhmeql  20671  pwsdiaglmhm  20673  pwssplit3  20677  lvecvscan  20730  lvecvscan2  20731  lspsnvs  20733  lspfixed  20747  lspexch  20748  lspsolvlem  20761  lspsolv  20762  islbs2  20773  ipass  21204  ipassr  21205  phlssphl  21218  ocvlss  21231  dsmmlss  21305  frlmvscavalb  21331  frlmvplusgscavalb  21332  frlmphl  21342  uvcresum  21354  frlmssuvc2  21356  frlmup1  21359  lindfmm  21388  islindf4  21399  assa2ass  21424  assapropd  21432  asclf  21442  assamulgscmlem1  21459  assamulgscmlem2  21460  mplcoe1  21598  mplmon2cl  21635  mplmon2mul  21636  mplind  21637  mhpvscacl  21703  ply1tmcl  21801  ply1coe  21827  evl1gsummon  21891  matvscl  21940  mat0dimscm  21978  matinv  22186  mply1topmatcl  22314  pm2mpmhmlem2  22328  monmat2matmon  22333  chpmat1dlem  22344  chpmat1d  22345  chpdmatlem0  22346  chfacfscmulcl  22366  cpmadugsumlemB  22383  cpmadugsumlemC  22384  cpmadugsumlemF  22385  cpmadugsumfi  22386  cpmidgsum2  22388  nlmdsdi  24205  nlmdsdir  24206  nlmmul0or  24207  nlmvscnlem2  24209  nlmvscn  24211  clmvscl  24611  cmodscmulexp  24645  cph2ass  24737  ipcau2  24758  tcphcphlem2  24760  tcphcph  24761  cphipval2  24765  4cphipval2  24766  cphipval  24767  pjthlem1  24961  mdegvscale  25600  mdegvsca  25601  plypf1  25733  ttgcontlem1  28180  lmodvslmhm  32243  eqgvscpbl  32506  qusvscpbl  32507  qusvsval  32508  imaslmod  32509  linds2eq  32542  lmhmqusker  32579  evls1fpws  32691  evls1vsca  32695  asclply1subcl  32705  ply1degltlss  32713  gsummoncoe1fzo  32714  tngdim  32757  matdim  32759  ply1degltdimlem  32766  lindsunlem  32768  lbsdiflsp0  32770  fedgmullem1  32773  fedgmullem2  32774  evls1maplmhm  32820  sitgclbn  33411  lindsadd  36567  lindsenlbs  36569  lfl0  38021  lflsub  38023  lflmul  38024  lfl0f  38025  lfl1  38026  lfladdcl  38027  lflnegcl  38031  lflvscl  38033  lkrlss  38051  eqlkr  38055  lkrlsp  38058  lshpkrlem4  38069  lshpkrlem5  38070  lshpkrlem6  38071  lclkrlem2m  40476  lclkrlem2p  40479  lcdvscl  40562  baerlem3lem1  40664  baerlem5alem1  40665  baerlem5blem1  40666  hdmap14lem1a  40823  hdmap14lem2a  40824  hdmap14lem2N  40826  hdmap14lem3  40827  hdmap14lem4a  40828  hdmap14lem8  40832  hgmapadd  40851  hgmapmul  40852  hgmaprnlem4N  40856  hgmap11  40859  hdmapgln2  40869  hdmapinvlem3  40877  hdmapinvlem4  40878  hdmapglem7b  40885  hlhilphllem  40920  mendassa  42018  ply1mulgsum  47149  lincfsuppcl  47172  linccl  47173  lincvalsng  47175  lincvalpr  47177  lincdifsn  47183  linc1  47184  lincsum  47188  lincscm  47189  lincscmcl  47191  lincext3  47215  lindslinindimp2lem4  47220  lindslinindsimp2  47222  snlindsntor  47230  lincresunit3lem2  47239  lincresunit3  47240  zlmodzxzldeplem3  47261
  Copyright terms: Public domain W3C validator