Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspeclsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspeclsp 41351
Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
Assertion
Ref Expression
prjspeclsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g𝑉)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙
Allowed substitution hints:   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . . . 7 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21cnveqi 5873 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3 cnvopab 6136 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
42, 3eqtri 2761 . . . . 5 = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
54eceq2i 8741 . . . 4 [𝑋] = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6 df-ec 8702 . . . . . 6 [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
76a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8 imaopab 41048 . . . . . 6 ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10 df-rex 3072 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11 velsn 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
1211anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦𝐵𝑋𝐵))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑋𝐵)))
15 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
1615eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
1716rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
1814, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
1918pm5.32i 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
2012, 19bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
2120exbii 1851 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22 19.41v 1954 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23 elisset 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
2524pm4.71ri 562 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
2622, 25bitr4i 278 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
2710, 21, 263bitri 297 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
2827abbii 2803 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29 iba 529 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵𝑋𝐵)))
3029bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
3130anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
3231abbidv 2802 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
3328, 32eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
3433adantl 483 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
357, 9, 343eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
365, 35eqtrid 2785 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37 df-rab 3434 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
3837a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39 prjspertr.b . . . . 5 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
4039rabeqi 3446 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
41 rabdif 41029 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
4241a1i 11 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
4340, 42eqtr4id 2792 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}))
4436, 38, 433eqtr2d 2779 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}))
45 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46 prjspertr.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑉)
47 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
481, 39, 45, 46, 47prjsper 41347 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec → Er 𝐵)
4948adantr 482 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → Er 𝐵)
50 ercnv 8721 . . . . 5 ( Er 𝐵 = )
5150eqcomd 2739 . . . 4 ( Er 𝐵 = )
5249, 51syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → = )
5352eceq2d 8742 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = [𝑋] )
54 lveclmod 20710 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55 difss 4131 . . . . . . 7 ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
5639, 55eqsstri 4016 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
5756sseli 3978 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59 prjsprellsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
6045, 47, 58, 46, 59lspsn 20606 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
6154, 57, 60syl2an 597 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
6354adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → 𝑙𝐾)
6657ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
6758, 45, 46, 47, 64, 65, 66lmodvscld 41102 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
6867adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
6962, 68eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
7069rexlimdva2 3158 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
7170pm4.71rd 564 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
7271abbidv 2802 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
73 df-rab 3434 . . . . 5 {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
7472, 73eqtr4di 2791 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
7561, 74eqtrd 2773 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
7675difeq1d 4121 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}))
7744, 53, 763eqtr4d 2783 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g𝑉)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3071  {crab 3433  cdif 3945  {csn 4628  {copab 5210  ccnv 5675  cima 5679  cfv 6541  (class class class)co 7406   Er wer 8697  [cec 8698  Basecbs 17141  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  0gc0g 17382  LModclmod 20464  LSpanclspn 20575  LVecclvec 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-ec 8702  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707
This theorem is referenced by:  prjspval2  41352
  Copyright terms: Public domain W3C validator