Theorem prjspeclsp 42598

Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspeclsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	cnveqi 5887	. . . . . 6 ⊢ ◡ ∼ = ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3		cnvopab 6159	. . . . . 6 ⊢ ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
4	2, 3	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ◡ ∼ = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5	4	eceq2i 8785	. . . 4 ⊢ [𝑋]◡ ∼ = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6		df-ec 8745	. . . . . 6 ⊢ [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8		imaopab 42248	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10		df-rex 3068	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11		velsn 4646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
12	11	anbi1i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
15		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
16	15	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
18	14, 17	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
19	18	pm5.32i 574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
20	12, 19	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
21	20	exbii 1844	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22		19.41v 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23		elisset 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
24	23	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
25	24	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
26	22, 25	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
27	10, 21, 26	3bitri 297	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
28	27	abbii 2806	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29		iba 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
30	29	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
32	31	abbidv 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
33	28, 32	eqtrid 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
35	7, 9, 34	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
36	5, 35	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37		df-rab 3433	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39		prjspertr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
40	39	rabeqi 3446	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
41		rabdif 4326	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
43	40, 42	eqtr4id 2793	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
44	36, 38, 43	3eqtr2d 2780	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
45		prjspertr.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46		prjspertr.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
47		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
48	1, 39, 45, 46, 47	prjsper 42594	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)
49	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ Er 𝐵)
50		ercnv 8764	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ◡ ∼ = ∼ )
51	50	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ∼ = ◡ ∼ )
52	49, 51	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ = ◡ ∼ )
53	52	eceq2d 8786	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = [𝑋]◡ ∼ )
54		lveclmod 21122	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55		difss 4145	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
56	39, 55	eqsstri 4029	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
57	56	sseli 3990	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59		prjsprellsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
60	45, 47, 58, 46, 59	lspsn 21017	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
61	54, 57, 60	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
63	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑙 ∈ 𝐾)
66	57	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
67	58, 45, 46, 47, 64, 65, 66	lmodvscld 20893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
69	62, 68	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
70	69	rexlimdva2 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
71	70	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
72	71	abbidv 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
73		df-rab 3433	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
74	72, 73	eqtr4di 2792	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
75	61, 74	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
76	75	difeq1d 4134	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
77	44, 53, 76	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  {cab 2711  ∃wrex 3067  {crab 3432   ∖ cdif 3959  {csn 4630  {copab 5209  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   Er wer 8740  [cec 8741  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17485  LModclmod 20874  LSpanclspn 20986  LVecclvec 21118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-ec 8745  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119

This theorem is referenced by:  prjspval2  42599