Theorem prjspeclsp 40028

Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspeclsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	cnveqi 5717	. . . . . 6 ⊢ ◡ ∼ = ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3		cnvopab 5971	. . . . . 6 ⊢ ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
4	2, 3	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ◡ ∼ = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5	4	eceq2i 8361	. . . 4 ⊢ [𝑋]◡ ∼ = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6		df-ec 8322	. . . . . 6 ⊢ [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8		imaopab 39789	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10		df-rex 3059	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11		velsn 4532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
12	11	anbi1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
15		oveq2 7178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
16	15	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 3207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
18	14, 17	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
19	18	pm5.32i 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
20	12, 19	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
21	20	exbii 1854	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22		19.41v 1957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23		elisset 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
24	23	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
25	24	pm4.71ri 564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
26	22, 25	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
27	10, 21, 26	3bitri 300	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
28	27	abbii 2803	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29		iba 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
30	29	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	anbi1d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
32	31	abbidv 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
33	28, 32	syl5eq 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
34	33	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
35	7, 9, 34	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
36	5, 35	syl5eq 2785	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37		df-rab 3062	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39		prjspertr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
40	39	rabeqi 3383	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
41		rabdif 39775	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
43	40, 42	eqtr4id 2792	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
44	36, 38, 43	3eqtr2d 2779	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
45		prjspertr.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46		prjspertr.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
47		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
48	1, 39, 45, 46, 47	prjsper 40024	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)
49	48	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ Er 𝐵)
50		ercnv 8341	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ◡ ∼ = ∼ )
51	50	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ∼ = ◡ ∼ )
52	49, 51	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ = ◡ ∼ )
53	52	eceq2d 8362	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = [𝑋]◡ ∼ )
54		lveclmod 19997	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55		difss 4022	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
56	39, 55	eqsstri 3911	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
57	56	sseli 3873	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59		prjsprellsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
60	45, 47, 58, 46, 59	lspsn 19893	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
61	54, 57, 60	syl2an 599	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
63	54	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
64	63	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑙 ∈ 𝐾)
66	57	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
67	58, 45, 46, 47	lmodvscl 19770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
68	64, 65, 66, 67	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
69	68	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
70	62, 69	eqeltrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
71	70	rexlimdva2 3197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
72	71	pm4.71rd 566	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
73	72	abbidv 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
74		df-rab 3062	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
75	73, 74	eqtr4di 2791	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
76	61, 75	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
77	76	difeq1d 4012	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
78	44, 53, 77	3eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114  {cab 2716  ∃wrex 3054  {crab 3057   ∖ cdif 3840  {csn 4516  {copab 5092  ^◡ccnv 5524   “ cima 5528  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   Er wer 8317  [cec 8318  Basecbs 16586  Scalarcsca 16671   ·_𝑠 cvsca 16672  0_gc0g 16816  LModclmod 19753  LSpanclspn 19862  LVecclvec 19993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-ec 8322  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994

This theorem is referenced by:  prjspval2  40029