Theorem prjspeclsp 42573

Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspeclsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	cnveqi 5828	. . . . . 6 ⊢ ◡ ∼ = ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3		cnvopab 6098	. . . . . 6 ⊢ ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
4	2, 3	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ◡ ∼ = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5	4	eceq2i 8690	. . . 4 ⊢ [𝑋]◡ ∼ = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6		df-ec 8650	. . . . . 6 ⊢ [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8		imaopab 42192	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10		df-rex 3054	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11		velsn 4601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
12	11	anbi1i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
15		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
16	15	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
18	14, 17	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
19	18	pm5.32i 574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
20	12, 19	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
21	20	exbii 1848	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22		19.41v 1949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23		elisset 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
24	23	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
25	24	pm4.71ri 560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
26	22, 25	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
27	10, 21, 26	3bitri 297	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
28	27	abbii 2796	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29		iba 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
30	29	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	anbi1d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
32	31	abbidv 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
33	28, 32	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
35	7, 9, 34	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
36	5, 35	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37		df-rab 3403	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39		prjspertr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
40	39	rabeqi 3416	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
41		rabdif 4280	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
43	40, 42	eqtr4id 2783	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
44	36, 38, 43	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
45		prjspertr.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46		prjspertr.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
47		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
48	1, 39, 45, 46, 47	prjsper 42569	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)
49	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ Er 𝐵)
50		ercnv 8669	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ◡ ∼ = ∼ )
51	50	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ∼ = ◡ ∼ )
52	49, 51	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ = ◡ ∼ )
53	52	eceq2d 8691	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = [𝑋]◡ ∼ )
54		lveclmod 20989	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55		difss 4095	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
56	39, 55	eqsstri 3990	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
57	56	sseli 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59		prjsprellsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
60	45, 47, 58, 46, 59	lspsn 20884	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
61	54, 57, 60	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
63	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑙 ∈ 𝐾)
66	57	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
67	58, 45, 46, 47, 64, 65, 66	lmodvscld 20761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
69	62, 68	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
70	69	rexlimdva2 3136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
71	70	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
72	71	abbidv 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
73		df-rab 3403	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
74	72, 73	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
75	61, 74	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
76	75	difeq1d 4084	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
77	44, 53, 76	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∖ cdif 3908  {csn 4585  {copab 5164  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   Er wer 8645  [cec 8646  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  LModclmod 20742  LSpanclspn 20853  LVecclvec 20985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-ec 8650  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986

This theorem is referenced by:  prjspval2  42574