Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspeclsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspeclsp 39255
 Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
Assertion
Ref Expression
prjspeclsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g𝑉)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙
Allowed substitution hints:   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . . . 7 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
21cnveqi 5739 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3 cnvopab 5991 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
42, 3eqtri 2844 . . . . 5 = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
54eceq2i 8324 . . . 4 [𝑋] = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6 df-ec 8285 . . . . . 6 [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
76a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8 imaopab 39112 . . . . . 6 ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10 df-rex 3144 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11 velsn 4576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
1211anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦𝐵𝑋𝐵))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝑥𝐵𝑋𝐵)))
15 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
1615eqeq2d 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
1716rexbidv 3297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
1814, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
1918pm5.32i 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
2012, 19bitri 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
2120exbii 1844 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22 19.41v 1946 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23 elisset 3505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
2423ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
2524pm4.71ri 563 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
2622, 25bitr4i 280 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
2710, 21, 263bitri 299 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
2827abbii 2886 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29 iba 530 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝐵 → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵𝑋𝐵)))
3029bicomd 225 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
3130anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
3231abbidv 2885 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
3328, 32syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
3433adantl 484 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
357, 9, 343eqtrd 2860 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
365, 35syl5eq 2868 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37 df-rab 3147 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
3837a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39 rabdif 39100 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
4039a1i 11 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
41 prjspertr.b . . . . 5 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
4241rabeqi 3482 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
4340, 42syl6reqr 2875 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}))
4436, 38, 433eqtr2d 2862 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}))
45 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46 prjspertr.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑉)
47 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
481, 41, 45, 46, 47prjsper 39251 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec → Er 𝐵)
4948adantr 483 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → Er 𝐵)
50 ercnv 8304 . . . . 5 ( Er 𝐵 = )
5150eqcomd 2827 . . . 4 ( Er 𝐵 = )
5249, 51syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → = )
5352eceq2d 8325 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = [𝑋] )
54 lveclmod 19872 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55 difss 4107 . . . . . . 7 ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
5641, 55eqsstri 4000 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
5756sseli 3962 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59 prjsprellsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
6045, 47, 58, 46, 59lspsn 19768 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
6154, 57, 60syl2an 597 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
6354adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
6463adantr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → 𝑙𝐾)
6657ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
6758, 45, 46, 47lmodvscl 19645 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
6864, 65, 66, 67syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
6968adantr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
7062, 69eqeltrd 2913 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑙𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
7170rexlimdva2 3287 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
7271pm4.71rd 565 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
7372abbidv 2885 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
74 df-rab 3147 . . . . 5 {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
7573, 74syl6eqr 2874 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
7661, 75eqtrd 2856 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
7776difeq1d 4097 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g𝑉)}))
7844, 53, 773eqtr4d 2866 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵) → [𝑋] = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g𝑉)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  {cab 2799  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3932  {csn 4560  {copab 5120  ◡ccnv 5548   “ cima 5552  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   Er wer 8280  [cec 8281  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  LModclmod 19628  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-ec 8285  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869 This theorem is referenced by:  prjspval2  39256
 Copyright terms: Public domain W3C validator