Theorem prjspeclsp 43062

Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspeclsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	cnveqi 5816	. . . . . 6 ⊢ ◡ ∼ = ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3		cnvopab 6087	. . . . . 6 ⊢ ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
4	2, 3	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ◡ ∼ = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5	4	eceq2i 8676	. . . 4 ⊢ [𝑋]◡ ∼ = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6		df-ec 8635	. . . . . 6 ⊢ [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8		imaopab 42718	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10		df-rex 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11		velsn 4571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
12	11	anbi1i 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
15		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
16	15	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
18	14, 17	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
19	18	pm5.32i 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
20	12, 19	bitri 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
21	20	exbii 1855	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22		19.41v 1956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23		elisset 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
24	23	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
25	24	pm4.71ri 565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
26	22, 25	bitr4i 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
27	10, 21, 26	3bitri 298	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
28	27	abbii 2806	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29		iba 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
30	29	bicomd 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	anbi1d 637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
32	31	abbidv 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
33	28, 32	eqtrid 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
34	33	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
35	7, 9, 34	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
36	5, 35	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37		df-rab 3392	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39		prjspertr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
40	39	rabeqi 3404	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
41		rabdif 4249	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
43	40, 42	eqtr4id 2793	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
44	36, 38, 43	3eqtr2d 2780	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
45		prjspertr.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46		prjspertr.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
47		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
48	1, 39, 45, 46, 47	prjsper 43058	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)
49	48	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ Er 𝐵)
50		ercnv 8655	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ◡ ∼ = ∼ )
51	50	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ∼ = ◡ ∼ )
52	49, 51	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ = ◡ ∼ )
53	52	eceq2d 8677	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = [𝑋]◡ ∼ )
54		lveclmod 21096	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55		difss 4066	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
56	39, 55	eqsstri 3961	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
57	56	sseli 3911	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59		prjsprellsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
60	45, 47, 58, 46, 59	lspsn 20992	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
61	54, 57, 60	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
63	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑙 ∈ 𝐾)
66	57	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
67	58, 45, 46, 47, 64, 65, 66	lmodvscld 20869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
68	67	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
69	62, 68	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
70	69	rexlimdva2 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
71	70	pm4.71rd 567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
72	71	abbidv 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
73		df-rab 3392	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
74	72, 73	eqtr4di 2792	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
75	61, 74	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
76	75	difeq1d 4056	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
77	44, 53, 76	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∖ cdif 3880  {csn 4555  {copab 5134  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   Er wer 8630  [cec 8631  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-ec 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093

This theorem is referenced by:  prjspval2  43063