Theorem prjspeclsp 43906

Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjsprellsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)

Assertion

Ref	Expression
prjspeclsp	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,𝑥   𝑁,𝑙,𝑥   𝑆,𝑙   𝐵,𝑙

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjsprel.1	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
2	1	cnveqi 5864	. . . . . 6 ⊢ ◡ ∼ = ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3		cnvopab 6149	. . . . . 6 ⊢ ◡{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
4	2, 3	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ◡ ∼ = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
5	4	eceq2i 8798	. . . 4 ⊢ [𝑋]◡ ∼ = [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
6		df-ec 8757	. . . . . 6 ⊢ [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋})
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}))
8		imaopab 43552	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} “ {𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
10		df-rex 3091	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
11		velsn 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
12	11	anbi1i 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))))
13		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
15		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑙 · 𝑦) = (𝑙 · 𝑋))
16	15	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 3190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
18	14, 17	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
19	18	pm5.32i 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
20	12, 19	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
21	20	exbii 1881	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
22		19.41v 1984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
23		elisset 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
24	23	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → ∃𝑦 𝑦 = 𝑋)
25	24	pm4.71ri 570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (∃𝑦 𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
26	22, 25	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
27	10, 21, 26	3bitri 300	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)))
28	27	abbii 2830	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
29		iba 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
30	29	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
31	30	anbi1d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
32	31	abbidv 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
33	28, 32	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
34	33	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ {𝑋} ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
35	7, 9, 34	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
36	5, 35	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
37		df-rab 3417	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
39		prjspertr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
40	39	rabeqi 3429	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
41		rabdif 4269	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)}
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}) = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
43	40, 42	eqtr4id 2817	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
44	36, 38, 43	3eqtr2d 2804	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]◡ ∼ = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
45		prjspertr.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
46		prjspertr.x	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
47		prjspertr.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
48	1, 39, 45, 46, 47	prjsper 43902	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → ∼ Er 𝐵)
49	48	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ Er 𝐵)
50		ercnv 8777	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ◡ ∼ = ∼ )
51	50	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐵 → ∼ = ◡ ∼ )
52	49, 51	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∼ = ◡ ∼ )
53	52	eceq2d 8799	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = [𝑋]◡ ∼ )
54		lveclmod 21432	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
55		difss 4075	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
56	39, 55	eqsstri 3959	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
57	56	sseli 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
58		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
59		prjsprellsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑉)
60	45, 47, 58, 46, 59	lspsn 21328	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
61	54, 57, 60	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
62		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))
63	54	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑉 ∈ LMod)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑉 ∈ LMod)
65		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑙 ∈ 𝐾)
66	57	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
67	58, 45, 46, 47, 64, 65, 66	lmodvscld 21205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
68	67	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → (𝑙 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
69	62, 68	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉))
70	69	rexlimdva2 3169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑉)))
71	70	pm4.71rd 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))))
72	71	abbidv 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))})
73		df-rab 3417	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋))}
74	72, 73	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
75	61, 74	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)})
76	75	difeq1d 4065	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝑉) ∣ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑋)} ∖ {(0g‘𝑉)}))
77	44, 53, 76	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋] ∼ = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ {(0g‘𝑉)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  {crab 3416   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {copab 5173  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   Er wer 8752  [cec 8753  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LModclmod 21186  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-ec 8757  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429

This theorem is used by:  prjspval2  43907