Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspeclsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspeclsp 41354
Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
prjspeclsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋] ∼ = ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,π‘₯   𝑁,𝑙,π‘₯   𝑆,𝑙   𝐡,𝑙
Allowed substitution hints:   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . . . 7 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
21cnveqi 5875 . . . . . 6 β—‘ ∼ = β—‘{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
3 cnvopab 6139 . . . . . 6 β—‘{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
42, 3eqtri 2761 . . . . 5 β—‘ ∼ = {βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
54eceq2i 8744 . . . 4 [𝑋]β—‘ ∼ = [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
6 df-ec 8705 . . . . . 6 [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋})
76a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋}))
8 imaopab 41050 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))})
10 df-rex 3072 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))))
11 velsn 4645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
1211anbi1i 625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))))
13 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
15 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑙 Β· 𝑦) = (𝑙 Β· 𝑋))
1615eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦) ↔ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
1716rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
1814, 17anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
1918pm5.32i 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
2012, 19bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
2120exbii 1851 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
22 19.41v 1954 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))) ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
23 elisset 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋)
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋)
2524pm4.71ri 562 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
2622, 25bitr4i 278 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
2710, 21, 263bitri 297 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
2827abbii 2803 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))}
29 iba 529 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
3029bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
3130anbi1d 631 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
3231abbidv 2802 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
3328, 32eqtrid 2785 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
3433adantl 483 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
357, 9, 343eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
365, 35eqtrid 2785 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]β—‘ ∼ = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
37 df-rab 3434 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))}
3837a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
39 prjspertr.b . . . . 5 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
4039rabeqi 3446 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)}
41 rabdif 41032 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) = {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)}
4241a1i 11 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) = {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
4340, 42eqtr4id 2792 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
4436, 38, 433eqtr2d 2779 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]β—‘ ∼ = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
45 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
46 prjspertr.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
47 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
481, 39, 45, 46, 47prjsper 41350 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec β†’ ∼ Er 𝐡)
4948adantr 482 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ∼ Er 𝐡)
50 ercnv 8724 . . . . 5 ( ∼ Er 𝐡 β†’ β—‘ ∼ = ∼ )
5150eqcomd 2739 . . . 4 ( ∼ Er 𝐡 β†’ ∼ = β—‘ ∼ )
5249, 51syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ∼ = β—‘ ∼ )
5352eceq2d 8745 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋] ∼ = [𝑋]β—‘ ∼ )
54 lveclmod 20717 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
55 difss 4132 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
5639, 55eqsstri 4017 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
5756sseli 3979 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
58 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
59 prjsprellsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
6045, 47, 58, 46, 59lspsn 20613 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
6154, 57, 60syl2an 597 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
62 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))
6354adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
65 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
6657ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
6758, 45, 46, 47, 64, 65, 66lmodvscld 41104 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ (𝑙 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
6867adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ (𝑙 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
6962, 68eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
7069rexlimdva2 3158 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)))
7170pm4.71rd 564 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
7271abbidv 2802 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
73 df-rab 3434 . . . . 5 {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))}
7472, 73eqtr4di 2791 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
7561, 74eqtrd 2773 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
7675difeq1d 4122 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
7744, 53, 763eqtr4d 2783 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋] ∼ = ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  {copab 5211  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   Er wer 8700  [cec 8701  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  LModclmod 20471  LSpanclspn 20582  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-ec 8705  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  prjspval2  41355
  Copyright terms: Public domain W3C validator