Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspeclsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspeclsp 41656
Description: The vectors equivalent to a vector 𝑋 are the nonzero vectors in the span of 𝑋. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjsprellsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
Assertion
Ref Expression
prjspeclsp ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋] ∼ = ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙   𝑉,𝑙,π‘₯   𝑁,𝑙,π‘₯   𝑆,𝑙   𝐡,𝑙
Allowed substitution hints:   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem prjspeclsp
StepHypRef Expression
1 prjsprel.1 . . . . . . 7 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
21cnveqi 5873 . . . . . 6 β—‘ ∼ = β—‘{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
3 cnvopab 6137 . . . . . 6 β—‘{⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
42, 3eqtri 2758 . . . . 5 β—‘ ∼ = {βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
54eceq2i 8746 . . . 4 [𝑋]β—‘ ∼ = [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
6 df-ec 8707 . . . . . 6 [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋})
76a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋}))
8 imaopab 41356 . . . . . 6 ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ({βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} β€œ {𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))})
10 df-rex 3069 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))))
11 velsn 4643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑋} ↔ 𝑦 = 𝑋)
1211anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))))
13 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
1413anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
15 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑙 Β· 𝑦) = (𝑙 Β· 𝑋))
1615eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦) ↔ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
1716rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
1814, 17anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
1918pm5.32i 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
2012, 19bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ (𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
2120exbii 1848 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ {𝑋} ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
22 19.41v 1951 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))) ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
23 elisset 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋)
2423ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋)
2524pm4.71ri 559 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) ↔ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
2622, 25bitr4i 277 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦(𝑦 = 𝑋 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
2710, 21, 263bitri 296 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)))
2827abbii 2800 . . . . . . 7 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))}
29 iba 526 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
3029bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ 𝐡))
3130anbi1d 628 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
3231abbidv 2799 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {π‘₯ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
3328, 32eqtrid 2782 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
3433adantl 480 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ {𝑋} ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
357, 9, 343eqtrd 2774 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]{βŸ¨π‘¦, π‘₯⟩ ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
365, 35eqtrid 2782 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]β—‘ ∼ = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
37 df-rab 3431 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))}
3837a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
39 prjspertr.b . . . . 5 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
4039rabeqi 3443 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)}
41 rabdif 41338 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) = {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)}
4241a1i 11 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) = {π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
4340, 42eqtr4id 2789 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
4436, 38, 433eqtr2d 2776 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋]β—‘ ∼ = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
45 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
46 prjspertr.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
47 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
481, 39, 45, 46, 47prjsper 41652 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec β†’ ∼ Er 𝐡)
4948adantr 479 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ∼ Er 𝐡)
50 ercnv 8726 . . . . 5 ( ∼ Er 𝐡 β†’ β—‘ ∼ = ∼ )
5150eqcomd 2736 . . . 4 ( ∼ Er 𝐡 β†’ ∼ = β—‘ ∼ )
5249, 51syl 17 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ∼ = β—‘ ∼ )
5352eceq2d 8747 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋] ∼ = [𝑋]β—‘ ∼ )
54 lveclmod 20861 . . . . 5 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
55 difss 4130 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
5639, 55eqsstri 4015 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
5756sseli 3977 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
58 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
59 prjsprellsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘‰)
6045, 47, 58, 46, 59lspsn 20757 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
6154, 57, 60syl2an 594 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
62 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))
6354adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
65 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
6657ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
6758, 45, 46, 47, 64, 65, 66lmodvscld 20633 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) β†’ (𝑙 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
6867adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ (𝑙 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
6962, 68eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑙 ∈ 𝐾) ∧ π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
7069rexlimdva2 3155 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰)))
7170pm4.71rd 561 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))))
7271abbidv 2799 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))})
73 df-rab 3431 . . . . 5 {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋))}
7472, 73eqtr4di 2788 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
7561, 74eqtrd 2770 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)})
7675difeq1d 4120 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) = ({π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘‰) ∣ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑋)} βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
7744, 53, 763eqtr4d 2780 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ [𝑋] ∼ = ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  {copab 5209  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   Er wer 8702  [cec 8703  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-ec 8707  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858
This theorem is referenced by:  prjspval2  41657
  Copyright terms: Public domain W3C validator