Theorem prjspvs 43325

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspvs	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspvs

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
2		prjspertr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
3		prjspertr.x	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
4		prjspertr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		lveclmod 21208	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LMod)
7		eldifi 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ∈ 𝐾)
8	7	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ∈ 𝐾)
9		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
10		difss 4091	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
11	9, 10	eqsstri 3984	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
12	11	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
14	1, 2, 3, 4, 6, 8, 13	lmodvscld 20981	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
15		eldifsni 4759	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ≠ 0 )
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ≠ 0 )
17		eldifsni 4759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18	17, 9	eleq2s 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20		prjspreln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
22		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LVec)
23	1, 3, 2, 4, 20, 21, 22, 8, 13	lvecvsn0 21214	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉) ↔ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))))
24	16, 19, 23	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉))
25	14, 24	eldifsnd 4756	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}))
26	25, 9	eleqtrrdi 2874	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
29	28	eqcoms 2771	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
30		tbtru 1578	. . . 4 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
31	29, 30	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
32		trud 1580	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ⊤)
33	31, 8, 32	rspcedvdw 3585	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
34		prjsprel.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
35	34	prjsprel 43319	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋)))
36	26, 27, 33, 35	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903  {csn 4590   class class class wbr 5110  {copab 5174  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  LModclmod 20962  LVecclvec 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lvec 21205

This theorem is referenced by:  prjspnvs  43335