Theorem prjspvs 43199

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspvs	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspvs

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
2		prjspertr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
3		prjspertr.x	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
4		prjspertr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		lveclmod 21193	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
6	5	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LMod)
7		eldifi 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ∈ 𝐾)
8	7	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ∈ 𝐾)
9		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
10		difss 4092	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
11	9, 10	eqsstri 3985	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
12	11	sseli 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
13	12	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
14	1, 2, 3, 4, 6, 8, 13	lmodvscld 20966	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
15		eldifsni 4753	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ≠ 0 )
16	15	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ≠ 0 )
17		eldifsni 4753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18	17, 9	eleq2s 2883	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
19	18	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20		prjspreln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
22		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LVec)
23	1, 3, 2, 4, 20, 21, 22, 8, 13	lvecvsn0 21199	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉) ↔ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))))
24	16, 19, 23	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉))
25	14, 24	eldifsnd 4750	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}))
26	25, 9	eleqtrrdi 2876	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
29	28	eqcoms 2773	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
30		tbtru 1571	. . . 4 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
31	29, 30	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
32		trud 1573	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ⊤)
33	31, 8, 32	rspcedvdw 3587	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
34		prjsprel.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
35	34	prjsprel 43193	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋)))
36	26, 27, 33, 35	syl21anbrc 1361	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5104  {copab 5166  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17480  LModclmod 20947  LVecclvec 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lvec 21190

This theorem is referenced by:  prjspnvs  43209