Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspvs 40412
Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspvs ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspvs
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20312 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
213ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LMod)
3 eldifi 4062 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁𝐾)
433ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁𝐾)
5 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
6 difss 4067 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
75, 6eqsstri 3956 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
87sseli 3918 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
983ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
10 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
11 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
12 prjspertr.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑉)
13 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 20084 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑁𝐾𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
152, 4, 9, 14syl3anc 1369 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
16 eldifsni 4725 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁0 )
17163ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁0 )
18 eldifsni 4725 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
1918, 5eleq2s 2855 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
20193ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
21 prjspreln0.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑆)
22 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑉) = (0g𝑉)
23 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LVec)
2410, 12, 11, 13, 21, 22, 23, 4, 9lvecvsn0 20315 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g𝑉) ↔ (𝑁0𝑋 ≠ (0g𝑉))))
2517, 20, 24mpbir2and 709 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ≠ (0g𝑉))
26 nelsn 4603 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g𝑉) → ¬ (𝑁 · 𝑋) ∈ {(0g𝑉)})
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ¬ (𝑁 · 𝑋) ∈ {(0g𝑉)})
2815, 27eldifd 3899 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}))
2928, 5eleqtrrdi 2848 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30 simp2 1135 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋𝐵)
31 oveq1 7267 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
3231eqcoms 2745 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
33 tbtru 1547 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
3432, 33sylib 217 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
3534adantl 481 . . 3 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
36 trud 1549 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ⊤)
374, 35, 36rspcedvd 3560 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ∃𝑚𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
38 prjsprel.1 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3938prjsprel 40406 . 2 ((𝑁 · 𝑋) 𝑋 ↔ (((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋)))
4029, 30, 37, 39syl21anbrc 1342 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wne 2941  wrex 3063  cdif 3885  {csn 4563   class class class wbr 5075  {copab 5137  cfv 6423  (class class class)co 7260  Basecbs 16856  Scalarcsca 16909   ·𝑠 cvsca 16910  0gc0g 17094  LModclmod 20067  LVecclvec 20308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-2nd 7810  df-tpos 8018  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-0g 17096  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-grp 18524  df-minusg 18525  df-mgp 19665  df-ur 19682  df-ring 19729  df-oppr 19806  df-dvdsr 19827  df-unit 19828  df-invr 19858  df-drng 19937  df-lmod 20069  df-lvec 20309
This theorem is referenced by:  prjspnvs  40422
  Copyright terms: Public domain W3C validator