Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspvs 39451
 Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉)
prjspertr.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
prjspvs ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspvs
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19866 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LMod)
3 eldifi 4087 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁𝐾)
433ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁𝐾)
5 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)})
6 difss 4092 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
75, 6eqsstri 3985 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
87sseli 3947 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
983ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
10 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
11 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
12 prjspertr.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑉)
13 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 19639 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑁𝐾𝑋 ∈ (Base‘𝑉)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
152, 4, 9, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
16 eldifsni 4705 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁0 )
17163ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁0 )
18 eldifsni 4705 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
1918, 5eleq2s 2934 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑉))
20193ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ (0g𝑉))
21 prjspreln0.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑆)
22 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝑉) = (0g𝑉)
23 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LVec)
2410, 12, 11, 13, 21, 22, 23, 4, 9lvecvsn0 19869 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g𝑉) ↔ (𝑁0𝑋 ≠ (0g𝑉))))
2517, 20, 24mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ≠ (0g𝑉))
26 nelsn 4588 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g𝑉) → ¬ (𝑁 · 𝑋) ∈ {(0g𝑉)})
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ¬ (𝑁 · 𝑋) ∈ {(0g𝑉)})
2815, 27eldifd 3929 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g𝑉)}))
2928, 5eleqtrrdi 2927 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30 simp2 1134 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋𝐵)
31 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
3231eqcoms 2832 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
33 tbtru 1546 . . . . 5 ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
3432, 33sylib 221 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
3534adantl 485 . . 3 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) ∧ 𝑚 = 𝑁) → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
36 trud 1548 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ⊤)
374, 35, 36rspcedvd 3611 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ∃𝑚𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
38 prjsprel.1 . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3938prjsprel 39445 . 2 ((𝑁 · 𝑋) 𝑋 ↔ (((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) ∧ ∃𝑚𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋)))
4029, 30, 37, 39syl21anbrc 1341 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∃wrex 3133   ∖ cdif 3915  {csn 4548   class class class wbr 5049  {copab 5111  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  LModclmod 19622  LVecclvec 19862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19364  df-dvdsr 19382  df-unit 19383  df-invr 19413  df-drng 19492  df-lmod 19624  df-lvec 19863 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator