Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspvs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem prjspvs 41654
Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjspreln0.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspvs ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∼ 𝑋)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)   0 (π‘₯,𝑦,𝑙)
Proof of Theorem prjspvs
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
2 prjspertr.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
3 prjspertr.x . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
4 prjspertr.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
5 lveclmod 20861 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
653ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
7 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
873ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
9 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
10 difss 4131 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
119, 10eqsstri 4016 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
1211sseli 3978 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
13123ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
141, 2, 3, 4, 6, 8, 13lmodvscld 20633 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
15 eldifsni 4793 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑁 β‰  0 )
16153ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑁 β‰  0 )
17 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
1817, 9eleq2s 2851 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
19183ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
20 prjspreln0.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘†)
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘‰) = (0gβ€˜π‘‰)
22 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
231, 3, 2, 4, 20, 21, 22, 8, 13lvecvsn0 20867 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘‰) ↔ (𝑁 β‰  0 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))))
2416, 19, 23mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘‰))
25 nelsn 4668 . . . . 5 ((𝑁 Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘‰) β†’ Β¬ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ {(0gβ€˜π‘‰)})
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ {(0gβ€˜π‘‰)})
2714, 26eldifd 3959 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
2827, 9eleqtrrdi 2844 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
29 simp2 1137 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
30 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑁 = π‘š β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
3130eqcoms 2740 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
32 tbtru 1549 . . . . 5 ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ⊀))
3331, 32sylib 217 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ⊀))
3433adantl 482 . . 3 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) ∧ π‘š = 𝑁) β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ⊀))
35 trud 1551 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ ⊀)
368, 34, 35rspcedvd 3614 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
37 prjsprel.1 . . 3 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
3837prjsprel 41648 . 2 ((𝑁 Β· 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (((𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋)))
3928, 29, 36, 38syl21anbrc 1344 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∼ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  {copab 5210  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LVecclvec 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lvec 20858
This theorem is referenced by:  prjspnvs  41664
  Copyright terms: Public domain W3C validator