Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspvs 40995
Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjsprel.1 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
prjspertr.b 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
prjspertr.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
prjspertr.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
prjspertr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
prjspreln0.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
prjspvs ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∼ 𝑋)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑙   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑙   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑙)   ∼ (π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑙)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑙)   0 (π‘₯,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspvs
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20611 . . . . . 6 (𝑉 ∈ LVec β†’ 𝑉 ∈ LMod)
213ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑉 ∈ LMod)
3 eldifi 4090 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
433ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑁 ∈ 𝐾)
5 prjspertr.b . . . . . . . 8 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)})
6 difss 4095 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
75, 6eqsstri 3982 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘‰)
87sseli 3944 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
983ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
10 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‰) = (Baseβ€˜π‘‰)
11 prjspertr.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘‰)
12 prjspertr.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‰)
13 prjspertr.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 20383 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘‰)) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
152, 4, 9, 14syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘‰))
16 eldifsni 4754 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑁 β‰  0 )
17163ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑁 β‰  0 )
18 eldifsni 4754 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
1918, 5eleq2s 2852 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
20193ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))
21 prjspreln0.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘†)
22 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘‰) = (0gβ€˜π‘‰)
23 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑉 ∈ LVec)
2410, 12, 11, 13, 21, 22, 23, 4, 9lvecvsn0 20615 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘‰) ↔ (𝑁 β‰  0 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘‰))))
2517, 20, 24mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘‰))
26 nelsn 4630 . . . . 5 ((𝑁 Β· 𝑋) β‰  (0gβ€˜π‘‰) β†’ Β¬ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ {(0gβ€˜π‘‰)})
2725, 26syl 17 . . . 4 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ Β¬ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ {(0gβ€˜π‘‰)})
2815, 27eldifd 3925 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ ((Baseβ€˜π‘‰) βˆ– {(0gβ€˜π‘‰)}))
2928, 5eleqtrrdi 2845 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
30 simp2 1138 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
31 oveq1 7368 . . . . . 6 (𝑁 = π‘š β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
3231eqcoms 2741 . . . . 5 (π‘š = 𝑁 β†’ (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
33 tbtru 1550 . . . . 5 ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ⊀))
3432, 33sylib 217 . . . 4 (π‘š = 𝑁 β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ⊀))
3534adantl 483 . . 3 (((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) ∧ π‘š = 𝑁) β†’ ((𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋) ↔ ⊀))
36 trud 1552 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ ⊀)
374, 35, 36rspcedvd 3585 . 2 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋))
38 prjsprel.1 . . 3 ∼ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ 𝐾 π‘₯ = (𝑙 Β· 𝑦))}
3938prjsprel 40989 . 2 ((𝑁 Β· 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (((𝑁 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘š ∈ 𝐾 (𝑁 Β· 𝑋) = (π‘š Β· 𝑋)))
4029, 30, 37, 39syl21anbrc 1345 1 ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 βˆ– { 0 })) β†’ (𝑁 Β· 𝑋) ∼ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3911  {csn 4590   class class class wbr 5109  {copab 5171  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  LModclmod 20365  LVecclvec 20607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lvec 20608
This theorem is referenced by:  prjspnvs  41005
  Copyright terms: Public domain W3C validator