Theorem prjspvs 42565

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspvs	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspvs

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
2		prjspertr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
3		prjspertr.x	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
4		prjspertr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		lveclmod 21128	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LMod)
7		eldifi 4154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ∈ 𝐾)
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ∈ 𝐾)
9		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
10		difss 4159	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
11	9, 10	eqsstri 4043	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
12	11	sseli 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
14	1, 2, 3, 4, 6, 8, 13	lmodvscld 20899	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
15		eldifsni 4815	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ≠ 0 )
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ≠ 0 )
17		eldifsni 4815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18	17, 9	eleq2s 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20		prjspreln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
22		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LVec)
23	1, 3, 2, 4, 20, 21, 22, 8, 13	lvecvsn0 21134	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉) ↔ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))))
24	16, 19, 23	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉))
25	14, 24	eldifsnd 4812	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}))
26	25, 9	eleqtrrdi 2855	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
29	28	eqcoms 2748	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
30		tbtru 1545	. . . 4 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
31	29, 30	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
32		trud 1547	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ⊤)
33	31, 8, 32	rspcedvdw 3638	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
34		prjsprel.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
35	34	prjsprel 42559	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋)))
36	26, 27, 33, 35	syl21anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  {copab 5228  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LVecclvec 21124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lvec 21125

This theorem is referenced by:  prjspnvs  42575