Theorem prjspvs 43375

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. (Contributed by Steven Nguyen, 6-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjsprel.1	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspertr.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
prjspertr.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
prjspertr.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
prjspertr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prjspreln0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
prjspvs	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑁,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑙)   0 (𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem prjspvs

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
2		prjspertr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑉)
3		prjspertr.x	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
4		prjspertr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		lveclmod 21256	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → 𝑉 ∈ LMod)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LMod)
7		eldifi 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ∈ 𝐾)
8	7	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ∈ 𝐾)
9		prjspertr.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)})
10		difss 4090	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) ⊆ (Base‘𝑉)
11	9, 10	eqsstri 3984	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑉)
12	11	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
13	12	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑉))
14	1, 2, 3, 4, 6, 8, 13	lmodvscld 21029	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ (Base‘𝑉))
15		eldifsni 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑁 ≠ 0 )
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑁 ≠ 0 )
17		eldifsni 4760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
18	17, 9	eleq2s 2883	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
19	18	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))
20		prjspreln0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
22		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑉 ∈ LVec)
23	1, 3, 2, 4, 20, 21, 22, 8, 13	lvecvsn0 21262	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ((𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉) ↔ (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑉))))
24	16, 19, 23	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ≠ (0g‘𝑉))
25	14, 24	eldifsnd 4757	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ ((Base‘𝑉) ∖ {(0g‘𝑉)}))
26	25, 9	eleqtrrdi 2876	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
27		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑚 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
29	28	eqcoms 2773	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
30		tbtru 1578	. . . 4 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
31	29, 30	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋) ↔ ⊤))
32		trud 1580	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ⊤)
33	31, 8, 32	rspcedvdw 3586	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋))
34		prjsprel.1	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝐾 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
35	34	prjsprel 43369	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝐾 (𝑁 · 𝑋) = (𝑚 · 𝑋)))
36	26, 27, 33, 35	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ (𝐾 ∖ { 0 })) → (𝑁 · 𝑋) ∼ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  {csn 4591   class class class wbr 5111  {copab 5175  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331  0_gc0g 17509  LModclmod 21010  LVecclvec 21252

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lvec 21253

This theorem is used by:  prjspnvs  43385