Theorem r1pvsca 32950

Description: Scalar multiplication property of the polynomial remainder operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pvsca.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pvsca.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pvsca.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
r1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
r1pvsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
r1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Proof of Theorem r1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pvsca.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1pvsca.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
3		r1pvsca.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pvsca.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
5		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
6		r1padd1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1padd1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	q1pcl 25908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
11	6, 7, 8	uc1pcl 25896	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
14		r1pvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		r1pvsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16	6, 13, 7, 14, 15	ply1ass23l 21969	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	1, 2, 10, 12, 16	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	17	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
19	6, 7, 8, 5, 1, 3, 4, 15, 14, 2	q1pvsca 32949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷) = (𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)))
20	19	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) = ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))
21	20	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
24		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	6	ply1lmod 21994	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	1, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
27	6	ply1sca 21995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
29	28	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
30	14, 29	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
31	2, 30	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
32	6	ply1ring 21990	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
33	1, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
34	7, 13, 33, 10, 12	ringcld 20151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
35	7, 15, 22, 23, 24, 26, 31, 3, 34	lmodsubdi 20673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
36	18, 21, 35	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
37	7, 22, 15, 23, 26, 31, 3	lmodvscld 20633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
38		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
39	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 25909	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
40	37, 12, 39	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
41	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 25909	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	3, 12, 41	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
43	42	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
44	36, 40, 43	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  ._rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205  -_gcsg 18857  Ringcrg 20127  LModclmod 20614  Poly₁cpl1 21920  Unic_1pcuc1p 25879  quot_1pcq1p 25880  rem_1pcr1p 25881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-uc1p 25884  df-q1p 25885  df-r1p 25886

This theorem is referenced by:  r1p0  32951  r1plmhm  32955