Theorem r1pvsca 34070

Description: Scalar multiplication property of the polynomial remainder operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pvsca.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pvsca.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pvsca.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
r1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
r1pvsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
r1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Proof of Theorem r1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pvsca.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1pvsca.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
3		r1pvsca.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pvsca.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
6		r1padd1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1padd1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	q1pcl 26436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
11	6, 7, 8	uc1pcl 26423	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
14		r1pvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		r1pvsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16	6, 13, 7, 14, 15	ply1ass23l 22505	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	1, 2, 10, 12, 16	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	17	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
19	6, 7, 8, 5, 1, 3, 4, 15, 14, 2	q1pvsca 34069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷) = (𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)))
20	19	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) = ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))
21	20	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	6	ply1lmod 22530	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	1, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
27	6	ply1sca 22531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	1, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
29	28	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
30	14, 29	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
31	2, 30	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
32	6	ply1ring 22526	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
33	1, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
34	7, 13, 33, 10, 12	ringcld 20445	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
35	7, 15, 22, 23, 24, 26, 31, 3, 34	lmodsubdi 21155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
36	18, 21, 35	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
37	7, 22, 15, 23, 26, 31, 3	lmodvscld 21115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
38		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
39	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26437	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
40	37, 12, 39	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
41	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	3, 12, 41	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
43	42	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
44	36, 40, 43	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  Scalarcsca 17392   ·_𝑠 cvsca 17393  -_gcsg 19107  Ringcrg 20420  LModclmod 21096  Poly₁cpl1 22456  Unic_1pcuc1p 26406  quot_1pcq1p 26407  rem_1pcr1p 26408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-rlreg 20907  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-cnfld 21640  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461  df-coe1 22462  df-mdeg 26334  df-deg1 26335  df-uc1p 26411  df-q1p 26412  df-r1p 26413

This theorem is used by:  r1p0  34071  r1plmhm  34074