Theorem r1pvsca 33625

Description: Scalar multiplication property of the polynomial remainder operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pvsca.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pvsca.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pvsca.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
r1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
r1pvsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
r1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Proof of Theorem r1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pvsca.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1pvsca.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
3		r1pvsca.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pvsca.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
6		r1padd1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1padd1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	q1pcl 26196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
11	6, 7, 8	uc1pcl 26183	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
14		r1pvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		r1pvsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16	6, 13, 7, 14, 15	ply1ass23l 22228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	1, 2, 10, 12, 16	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	17	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
19	6, 7, 8, 5, 1, 3, 4, 15, 14, 2	q1pvsca 33624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷) = (𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)))
20	19	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) = ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))
21	20	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	6	ply1lmod 22253	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	1, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
27	6	ply1sca 22254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
29	28	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
30	14, 29	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
31	2, 30	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
32	6	ply1ring 22249	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
33	1, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
34	7, 13, 33, 10, 12	ringcld 20257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
35	7, 15, 22, 23, 24, 26, 31, 3, 34	lmodsubdi 20917	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
36	18, 21, 35	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
37	7, 22, 15, 23, 26, 31, 3	lmodvscld 20877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
38		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
39	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26197	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
40	37, 12, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
41	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26197	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	3, 12, 41	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
43	42	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
44	36, 40, 43	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  -_gcsg 18953  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  Poly₁cpl1 22178  Unic_1pcuc1p 26166  quot_1pcq1p 26167  rem_1pcr1p 26168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173

This theorem is referenced by:  r1p0  33626  r1plmhm  33630