Theorem r1pvsca 33563

Description: Scalar multiplication property of the polynomial remainder operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pvsca.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pvsca.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pvsca.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
r1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
r1pvsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
r1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Proof of Theorem r1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pvsca.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1pvsca.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
3		r1pvsca.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pvsca.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
6		r1padd1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1padd1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	q1pcl 26095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
11	6, 7, 8	uc1pcl 26082	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
14		r1pvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		r1pvsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16	6, 13, 7, 14, 15	ply1ass23l 22144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	1, 2, 10, 12, 16	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	17	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
19	6, 7, 8, 5, 1, 3, 4, 15, 14, 2	q1pvsca 33562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷) = (𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)))
20	19	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) = ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))
21	20	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
24		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	6	ply1lmod 22169	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	1, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
27	6	ply1sca 22170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
29	28	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
30	14, 29	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
31	2, 30	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
32	6	ply1ring 22165	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
33	1, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
34	7, 13, 33, 10, 12	ringcld 20180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
35	7, 15, 22, 23, 24, 26, 31, 3, 34	lmodsubdi 20857	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
36	18, 21, 35	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
37	7, 22, 15, 23, 26, 31, 3	lmodvscld 20817	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
38		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
39	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26096	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
40	37, 12, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
41	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26096	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	3, 12, 41	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
43	42	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
44	36, 40, 43	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  -_gcsg 18849  Ringcrg 20153  LModclmod 20798  Poly₁cpl1 22094  Unic_1pcuc1p 26065  quot_1pcq1p 26066  rem_1pcr1p 26067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rlreg 20614  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-cnfld 21297  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-mdeg 25993  df-deg1 25994  df-uc1p 26070  df-q1p 26071  df-r1p 26072

This theorem is referenced by:  r1p0  33564  r1plmhm  33568