Theorem r1pvsca 33684

Description: Scalar multiplication property of the polynomial remainder operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1padd1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1padd1.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1padd1.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1padd1.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pvsca.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
r1pvsca.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pvsca.10	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
r1pvsca.1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
r1pvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
r1pvsca.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
r1pvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Proof of Theorem r1pvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pvsca.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		r1pvsca.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
3		r1pvsca.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
4		r1pvsca.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑁)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
6		r1padd1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		r1padd1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
8		r1padd1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
9	5, 6, 7, 8	q1pcl 26136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈)
11	6, 7, 8	uc1pcl 26123	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑁 → 𝐷 ∈ 𝑈)
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
14		r1pvsca.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15		r1pvsca.1	. . . . . 6 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑃)
16	6, 13, 7, 14, 15	ply1ass23l 22204	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈)) → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
17	1, 2, 10, 12, 16	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷) = (𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
18	17	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
19	6, 7, 8, 5, 1, 3, 4, 15, 14, 2	q1pvsca 33683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷) = (𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)))
20	19	oveq1d 7377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) = ((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷))
21	20	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)((𝐵 × (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷))(.r‘𝑃)𝐷)))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
25	6	ply1lmod 22229	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
26	1, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
27	6	ply1sca 22230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
28	1, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
29	28	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
30	14, 29	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
31	2, 30	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
32	6	ply1ring 22225	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
33	1, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
34	7, 13, 33, 10, 12	ringcld 20236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷) ∈ 𝑈)
35	7, 15, 22, 23, 24, 26, 31, 3, 34	lmodsubdi 20909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(𝐵 × ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
36	18, 21, 35	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
37	7, 22, 15, 23, 26, 31, 3	lmodvscld 20869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈)
38		r1padd1.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
39	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26137	. . 3 ⊢ (((𝐵 × 𝐴) ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
40	37, 12, 39	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = ((𝐵 × 𝐴)(-g‘𝑃)(((𝐵 × 𝐴)(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
41	38, 6, 7, 5, 13, 24	r1pval 26137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐷 ∈ 𝑈) → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
42	3, 12, 41	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐷) = (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷)))
43	42	oveq2d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)) = (𝐵 × (𝐴(-g‘𝑃)((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐷)(.r‘𝑃)𝐷))))
44	36, 40, 43	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐴)𝐸𝐷) = (𝐵 × (𝐴𝐸𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  -_gcsg 18906  Ringcrg 20209  LModclmod 20850  Poly₁cpl1 22154  Unic_1pcuc1p 26106  quot_1pcq1p 26107  rem_1pcr1p 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-cnfld 21349  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159  df-coe1 22160  df-mdeg 26034  df-deg1 26035  df-uc1p 26111  df-q1p 26112  df-r1p 26113

This theorem is referenced by:  r1p0  33685  r1plmhm  33689