Theorem nfexd 2359

Description: If 𝑥 is not free in 𝜓, then it is not free in ∃𝑦𝜓. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfexd	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ex 1813	. 2 ⊢ (∃𝑦𝜓 ↔ ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜓)
2		nfald.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfald.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4	3	nfnd 1891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 ¬ 𝜓)
5	2, 4	nfald 2358	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦 ¬ 𝜓)
6	5	nfnd 1891	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜓)
7	1, 6	nfxfrd 1887	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1568  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-or 862  df-ex 1813  df-nf 1817

This theorem is used by:  nfmod2  2583  nfmodv  2584  nfeudw  2616  nfeld  2933  nfopabd  5173  nfttrcld  9696  axrepndlem1  10626  axrepndlem2  10627  axunndlem1  10629  axunnd  10630  axpowndlem2  10632  axpowndlem3  10633  axpowndlem4  10634  axregndlem2  10637  axinfndlem1  10639  axinfnd  10640  axacndlem4  10644  axacndlem5  10645  axacnd  10646  19.9d2rf  32977  axsepg2  35709  axpowg2  35716  axpowg3  35717  hbexg  45444