Theorem nfexd 2332

Description: If 𝑥 is not free in 𝜓, then it is not free in ∃𝑦𝜓. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfexd	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ex 1781	. 2 ⊢ (∃𝑦𝜓 ↔ ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜓)
2		nfald.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfald.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4	3	nfnd 1859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 ¬ 𝜓)
5	2, 4	nfald 2331	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦 ¬ 𝜓)
6	5	nfnd 1859	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ 𝜓)
7	1, 6	nfxfrd 1855	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1539  ∃wex 1780  Ⅎwnf 1784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-or 848  df-ex 1781  df-nf 1785

This theorem is referenced by:  nfmod2  2556  nfmodv  2557  nfeudw  2589  nfeld  2908  nfopabd  5164  nfttrcld  9617  axrepndlem1  10501  axrepndlem2  10502  axunndlem1  10504  axunnd  10505  axpowndlem2  10507  axpowndlem3  10508  axpowndlem4  10509  axregndlem2  10512  axinfndlem1  10514  axinfnd  10515  axacndlem4  10519  axacndlem5  10520  axacnd  10521  19.9d2rf  32492  hbexg  44739