Theorem nfald 2327

Description: Deduction form of nfal 2322. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfald	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 2326	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑦∃𝑥𝜓)
2		nfald.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfald.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4	3	nfrd 1791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5	2, 4	alimd 2213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦∃𝑥𝜓 → ∀𝑦∀𝑥𝜓))
6		ax-11 2158	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑥𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓)
7	1, 5, 6	syl56 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓))
8	7	nfd 1790	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1538  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-or 848  df-ex 1780  df-nf 1784

This theorem is referenced by:  nfexd  2328  dvelimhw  2343  nfald2  2443  nfmodv  2552  nfeqd  2902  nfabdw  2913  nfraldw  3283  nfiotadw  6467  nfixpw  8889  axrepndlem1  10545  axrepndlem2  10546  axunnd  10549  axpowndlem2  10551  axpowndlem4  10553  axregndlem2  10556  axinfndlem1  10558  axinfnd  10559  axacndlem4  10563  axacndlem5  10564  axacnd  10565  axsepg2  35072  axsepg2ALT  35073  axnulg  35082  bj-dvelimdv  36839  wl-mo2df  37558  wl-eudf  37560  wl-mo2t  37563  nfintd  49662