Theorem nfald 2367

Description: Deduction form of nfal 2362. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfald	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 2366	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑦∃𝑥𝜓)
2		nfald.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfald.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4	3	nfrd 1818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5	2, 4	alimd 2254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦∃𝑥𝜓 → ∀𝑦∀𝑥𝜓))
6		ax-11 2198	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑥𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓)
7	1, 5, 6	syl56 37	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓))
8	7	nfd 1817	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1565  ∃wex 1806  Ⅎwnf 1810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 861  df-ex 1807  df-nf 1811

This theorem is referenced by:  nfexd  2368  dvelimhw  2383  nfald2  2483  nfmodv  2593  nfeqd  2941  nfabdw  2952  nfraldw  3316  nfiotadw  6496  nfixpw  8914  axrepndlem1  10577  axrepndlem2  10578  axunnd  10581  axpowndlem2  10583  axpowndlem4  10585  axregndlem2  10588  axinfndlem1  10590  axinfnd  10591  axacndlem4  10595  axacndlem5  10596  axacnd  10597  axsepg2  35476  axsepg3  35477  axsepg3ALT  35478  axsepg5  35480  axnulg  35481  axpowg2  35483  axpowg3  35484  mh-setindnd  36937  bj-dvelimdv  37375  wl-mo2df  38113  wl-eudf  38115  wl-mo2t  38118  nfintd  50336