Theorem nfald 2358

Description: Deduction form of nfal 2353. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfald	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 2357	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑦∃𝑥𝜓)
2		nfald.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfald.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4	3	nfrd 1823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5	2, 4	alimd 2248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦∃𝑥𝜓 → ∀𝑦∀𝑥𝜓))
6		ax-11 2193	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑥𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓)
7	1, 5, 6	syl56 37	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓))
8	7	nfd 1822	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1567  ∃wex 1811  Ⅎwnf 1815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-or 862  df-ex 1812  df-nf 1816

This theorem is used by:  nfexd  2359  dvelimhw  2374  nfald2  2474  nfmodv  2584  nfeqd  2932  nfabdw  2943  nfraldw  3307  nfiotadw  6500  nfixpw  8952  axrepndlem1  10684  axrepndlem2  10685  axunnd  10688  axpowndlem2  10690  axpowndlem4  10692  axregndlem2  10695  axinfndlem1  10697  axinfnd  10698  axacndlem4  10702  axacndlem5  10703  axacnd  10704  axsepg2  35876  axsepg3  35877  axsepg3ALT  35878  axsepg5  35880  axnulg  35881  axpowg2  35883  axpowg3  35884  mh-setindnd  37449  bj-dvelimdv  37887  wl-mo2df  38639  wl-eudf  38641  wl-mo2t  38644  nfintd  50992