Theorem nfald 2336

Description: Deduction form of nfal 2331. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfald.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
nfald.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
nfald	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Proof of Theorem nfald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.12 2335	. . 3 ⊢ (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑦∃𝑥𝜓)
2		nfald.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfald.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
4	3	nfrd 1793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5	2, 4	alimd 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦∃𝑥𝜓 → ∀𝑦∀𝑥𝜓))
6		ax-11 2158	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑥𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓)
7	1, 5, 6	syl56 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥∀𝑦𝜓 → ∀𝑥∀𝑦𝜓))
8	7	nfd 1792	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜓)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1536  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 845  df-ex 1782  df-nf 1786

This theorem is referenced by:  nfexd  2337  dvelimhw  2355  nfald2  2456  nfmodv  2618  nfeqd  2965  nfraldw  3187  nfiotadw  6286  nfixpw  8463  axrepndlem1  10003  axrepndlem2  10004  axunnd  10007  axpowndlem2  10009  axpowndlem4  10011  axregndlem2  10014  axinfndlem1  10016  axinfnd  10017  axacndlem4  10021  axacndlem5  10022  axacnd  10023  bj-dvelimdv  34290  wl-mo2df  34971  wl-eudf  34973  wl-mo2t  34976  nfintd  45203