Theorem nfeld 2903

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1897	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2328	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1854	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ex 1780  df-nf 1784  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878

This theorem is referenced by:  nfel  2906  nfneld  3038  nfrald  3343  ralcom2  3348  nfrmod  3398  nfreud  3399  nfrmo  3400  nfsbc1d  3768  nfsbcdw  3771  nfsbcd  3774  sbcrext  3833  nfdisjw  5081  nfdisj  5082  nfbrd  5148  nfriotadw  7334  nfriotad  7337  nfixpw  8866  nfixp  8867  axrepndlem2  10522  axrepnd  10523  axunnd  10525  axpowndlem2  10527  axpowndlem3  10528  axpowndlem4  10529  axpownd  10530  axregndlem2  10532  axinfndlem1  10534  axinfnd  10535  axacndlem4  10539  axacndlem5  10540  axacnd  10541  axnulg  35055