Theorem nfeld 2912

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1921	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1904	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2338	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1861	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ex 1787  df-nf 1791  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888

This theorem is referenced by:  nfel  2915  nfneld  3047  nfrald  3336  ralcom2  3341  nfrmod  3387  nfreud  3388  nfrmo  3389  nfsbc1d  3741  nfsbcdw  3744  nfsbcd  3747  sbcrext  3805  nfdisj  5052  nfbrd  5118  nfriotadw  7321  nfriotad  7324  nfixpw  8854  nfixp  8855  axrepndlem2  10507  axrepnd  10508  axunnd  10510  axpowndlem2  10512  axpowndlem3  10513  axpowndlem4  10514  axpownd  10515  axregndlem2  10517  axinfndlem1  10519  axinfnd  10520  axacndlem4  10524  axacndlem5  10525  axacnd  10526  axsepg2  35321  axnulg  35326  axpowg2  35328  axpowg3  35329