Theorem nfeld 2937

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2840	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1932	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2363	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1887	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ex 1813  df-nf 1817  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913

This theorem is used by:  nfel  2940  nfneld  3074  nfrald  3361  ralcom2  3366  nfrmod  3412  nfreud  3413  nfrmo  3414  nfsbc1d  3760  nfsbcdw  3763  nfsbcd  3766  sbcrext  3824  nfdisj  5088  nfbrd  5157  nfriotadw  7416  nfriotad  7419  nfixpw  8982  nfixp  8983  axrepndlem2  10717  axrepnd  10718  axunnd  10720  axpowndlem2  10722  axpowndlem3  10723  axpowndlem4  10724  axpownd  10725  axregndlem2  10727  axinfndlem1  10729  axinfnd  10730  axacndlem4  10734  axacndlem5  10735  axacnd  10736  axsepg2  35949  axnulg  35954  axpowg2  35956  axpowg3  35957