Theorem nfeld 2938

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2841	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1930	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2364	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1887	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ex 1813  df-nf 1817  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914

This theorem is used by:  nfel  2941  nfneld  3075  nfrald  3363  ralcom2  3368  nfrmod  3414  nfreud  3415  nfrmo  3416  nfsbc1d  3764  nfsbcdw  3767  nfsbcd  3770  sbcrext  3827  nfdisj  5091  nfbrd  5159  nfriotadw  7384  nfriotad  7387  nfixpw  8920  nfixp  8921  axrepndlem2  10595  axrepnd  10596  axunnd  10598  axpowndlem2  10600  axpowndlem3  10601  axpowndlem4  10602  axpownd  10603  axregndlem2  10605  axinfndlem1  10607  axinfnd  10608  axacndlem4  10612  axacndlem5  10613  axacnd  10614  axsepg2  35612  axnulg  35617  axpowg2  35619  axpowg3  35620