Theorem nfeld 2910

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1898	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2334	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1855	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ex 1781  df-nf 1785  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885

This theorem is referenced by:  nfel  2913  nfneld  3045  nfrald  3342  ralcom2  3347  nfrmod  3395  nfreud  3396  nfrmo  3397  nfsbc1d  3758  nfsbcdw  3761  nfsbcd  3764  sbcrext  3823  nfdisjw  5077  nfdisj  5078  nfbrd  5144  nfriotadw  7323  nfriotad  7326  nfixpw  8854  nfixp  8855  axrepndlem2  10504  axrepnd  10505  axunnd  10507  axpowndlem2  10509  axpowndlem3  10510  axpowndlem4  10511  axpownd  10512  axregndlem2  10514  axinfndlem1  10516  axinfnd  10517  axacndlem4  10521  axacndlem5  10522  axacnd  10523  axnulg  35264