Theorem nfeld 2911

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1899	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2335	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1856	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ex 1782  df-nf 1786  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886

This theorem is referenced by:  nfel  2914  nfneld  3046  nfrald  3344  ralcom2  3349  nfrmod  3397  nfreud  3398  nfrmo  3399  nfsbc1d  3760  nfsbcdw  3763  nfsbcd  3766  sbcrext  3825  nfdisjw  5079  nfdisj  5080  nfbrd  5146  nfriotadw  7333  nfriotad  7336  nfixpw  8866  nfixp  8867  axrepndlem2  10516  axrepnd  10517  axunnd  10519  axpowndlem2  10521  axpowndlem3  10522  axpowndlem4  10523  axpownd  10524  axregndlem2  10526  axinfndlem1  10528  axinfnd  10529  axacndlem4  10533  axacndlem5  10534  axacnd  10535  axnulg  35285