Theorem nfeld 2920

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1896	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2333	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1852	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ex 1778  df-nf 1782  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895

This theorem is referenced by:  nfel  2923  nfneld  3061  nfraldwOLD  3328  nfrald  3380  ralcom2  3385  nfreuwOLD  3433  nfrmowOLD  3434  nfrmod  3439  nfreud  3440  nfrmo  3441  nfsbc1d  3822  nfsbcdw  3825  nfsbcd  3828  sbcrext  3895  nfdisjw  5145  nfdisj  5146  nfbrd  5212  nfriotadw  7414  nfriotad  7418  nfixpw  8976  nfixp  8977  axrepndlem2  10664  axrepnd  10665  axunnd  10667  axpowndlem2  10669  axpowndlem3  10670  axpowndlem4  10671  axpownd  10672  axregndlem2  10674  axinfndlem1  10676  axinfnd  10677  axacndlem4  10681  axacndlem5  10682  axacnd  10683  axnulg  35070