Theorem nfeld 2934

Description: Hypothesis builder for elementhood. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfeqd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
nfeqd.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)

Assertion

Ref	Expression
nfeld	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem nfeld

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfclel 2837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
2		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
3		nfcvd 2924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝑦)
4		nfeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐴)
5	3, 4	nfeqd 2933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝐴)
6		nfeqd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝐵)
7	6	nfcrd 2917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵)
8	5, 7	nfand 1930	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	2, 8	nfexd 2360	. 2 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥∃𝑦(𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
10	1, 9	nfxfrd 1887	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ex 1813  df-nf 1817  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910

This theorem is used by:  nfel  2937  nfneld  3071  nfrald  3358  ralcom2  3363  nfrmod  3409  nfreud  3410  nfrmo  3411  nfsbc1d  3757  nfsbcdw  3760  nfsbcd  3763  sbcrext  3820  nfdisj  5083  nfbrd  5151  nfriotadw  7385  nfriotad  7388  nfixpw  8944  nfixp  8945  axrepndlem2  10678  axrepnd  10679  axunnd  10681  axpowndlem2  10683  axpowndlem3  10684  axpowndlem4  10685  axpownd  10686  axregndlem2  10688  axinfndlem1  10690  axinfnd  10691  axacndlem4  10695  axacndlem5  10696  axacnd  10697  axsepg2  35808  axnulg  35813  axpowg2  35815  axpowg3  35816