Theorem opnzi 5422

Description: An ordered pair is nonempty if the arguments are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opth1.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opnzi	⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ∅

Proof of Theorem opnzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opth1.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opnz 5421	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ∅ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ∅

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440  ∅c0 4285  ⟨cop 4586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587

This theorem is referenced by:  opelopabsb  5478  0nelopab  5513  0nelxp  5658  unixp0  6241  funopsn  7093  cnfldfun  21323  cnfldfunOLD  21336  fmlaomn0  35584  finxpreclem2  37595  finxp0  37596  finxpreclem6  37601