Theorem opnzi 5450

Description: An ordered pair is nonempty if the arguments are sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opth1.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opnzi	⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ∅

Proof of Theorem opnzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opth1.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opnz 5449	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ∅ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ≠ ∅

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591

This theorem is used by:  iunopeqop  5498  opelopabsb  5508  0nelopab  5544  0nelxp  5689  unixp0  6281  funopsnOLD  7146  cnfldfun  21600  fmlaomn0  35970  finxpreclem2  38145  finxp0  38146  finxpreclem6  38151