Theorem cnfldfun 20654

Description: The field of complex numbers is a function. The proof is much shorter than the proof of cnfldfunALT 20655 by using cnfldstr 20644 and structn0fun 16897: in addition, it must be shown that ∅ ∉ ℂ_fld. (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfun	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldstr 20644	. 2 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
2		structn0fun 16897	. . 3 ⊢ (ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩ → Fun (ℂfld ∖ {∅}))
3		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		cnex 10998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ≠ ∅
6	5	nesymi 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩
7		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
8		addex 12774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + ∈ V
9	7, 8	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ≠ ∅
10	9	nesymi 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩
11		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
12		mulex 12775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · ∈ V
13	11, 12	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ≠ ∅
14	13	nesymi 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩
15		3ioran 1106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
16		0ex 5240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	eltp 4628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
18	15, 17	xchnxbir 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
19	6, 10, 14, 18	mpbir3an 1341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
20		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
21		cjf 14860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
22		fex 7134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
23	21, 4, 22	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗ ∈ V
24	20, 23	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ ≠ ∅
25	24	necomi 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩
26		nelsn 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
28	19, 27	pm3.2i 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
29		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
30		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
31	29, 30	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
32	31	nesymi 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩
33		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
34		letsr 18356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
35	34	elexi 3456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ∈ V
36	33, 35	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ≠ ∅
37	36	nesymi 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩
38		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
39		absf 15094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
40		fex 7134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
41	39, 4, 40	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ abs ∈ V
42		subf 11269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
43	4, 4	xpex 7635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
44		fex 7134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
45	42, 43, 44	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ − ∈ V
46	41, 45	coex 7809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
47	38, 46	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩ ≠ ∅
48	47	nesymi 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩
49		3ioran 1106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
50	32, 37, 48, 49	mpbir3an 1341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩)
51	16	eltp 4628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ↔ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
52	50, 51	mtbir 323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
53		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
54		fvex 6817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
55	53, 54	opnzi 5402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
56	55	necomi 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩
57		nelsn 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
59	52, 58	pm3.2i 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
60	28, 59	pm3.2i 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
61		ioran 982	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
62		ioran 982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
63		ioran 982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
64	62, 63	anbi12i 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
65	61, 64	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
66	60, 65	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
67		df-cnfld 20643	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
68	67	eleq2i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ℂfld ↔ ∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
69		elun 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
70		elun 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
71		elun 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
72	70, 71	orbi12i 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
73	68, 69, 72	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ℂfld ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
74	66, 73	mtbir 323	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ ℂfld
75		disjsn 4651	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ℂfld)
76	74, 75	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∩ {∅}) = ∅
77		disjdif2 4419	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ → (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld)
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld
79	78	funeqi 6484	. . 3 ⊢ (Fun (ℂfld ∖ {∅}) ↔ Fun ℂfld)
80	2, 79	sylib 217	. 2 ⊢ (ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩ → Fun ℂfld)
81	1, 80	ax-mp 5	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  Vcvv 3437   ∖ cdif 3889   ∪ cun 3890   ∩ cin 3891  ∅c0 4262  {csn 4565  {ctp 4569  ⟨cop 4571   class class class wbr 5081   × cxp 5598   ∘ ccom 5604  Fun wfun 6452  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  ℂcc 10915  ℝcr 10916  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922   ≤ cle 11056   − cmin 11251  3c3 12075  ;cdc 12483  ∗ccj 14852  abscabs 14990   Struct cstr 16892  ndxcnx 16939  Basecbs 16957  +_gcplusg 17007  ._rcmulr 17008  *_𝑟cstv 17009  TopSetcts 17013  lecple 17014  distcds 17016  UnifSetcunif 17017   TosetRel ctsr 18328  MetOpencmopn 20632  metUnifcmetu 20633  ℂ_fldccnfld 20642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-struct 16893  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-ps 18329  df-tsr 18330  df-cnfld 20643

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