Theorem cnfldfun 20103

Description: The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfun	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnplusgndx 16600	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2		basendxnmulrndx 16610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3		plusgndxnmulrndx 16609	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
6		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
7		cnex 10607	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
8		addex 12375	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ V
9		mulex 12376	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ V
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	funtp 6381	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11	1, 2, 3, 10	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12		fvex 6658	. . . . . . 7 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
13		cjf 14455	. . . . . . . 8 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
14		fex 6966	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
15	13, 7, 14	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ∈ V
16	12, 15	funsn 6377	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
17	11, 16	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
18	7, 8, 9	dmtpop 6042	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
19	15	dmsnop 6040	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
20	18, 19	ineq12i 4137	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21		basendx 16539	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22		1re 10630	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		1lt4 11801	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
24	22, 23	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 4
25		starvndx 16615	. . . . . . . . 9 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
26	24, 25	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
27	21, 26	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28		plusgndx 16587	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) = 2
29		2re 11699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2lt4 11800	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
31	29, 30	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 4
32	31, 25	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
33	28, 32	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34		mulrndx 16607	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) = 3
35		3re 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36		3lt4 11799	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
37	35, 36	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 4
38	37, 25	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
39	34, 38	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40		disjtpsn 4611	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
41	27, 33, 39, 40	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
42	20, 41	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43		funun 6370	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
44	17, 42, 43	mp2an 691	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45		tsetndx 16651	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
46		9re 11724	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
47		9lt10 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;10
48	46, 47	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;10
49		plendx 16658	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘ndx) = ;10
50	48, 49	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (le‘ndx)
51	45, 50	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52		1nn 11636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
53		2nn0 11902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 11909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	46	leidi 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ≤ 9
56	52, 53, 54, 55	decltdi 12125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;12
57	46, 56	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;12
58		dsndx 16667	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
59	57, 58	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (dist‘ndx)
60	45, 59	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61		10re 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 ∈ ℝ
62		1nn0 11901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
63		0nn0 11900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
64		2nn 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
65		2pos 11728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
66	62, 63, 64, 65	declt 12114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
67	61, 66	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;12
68	67, 58	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (dist‘ndx)
69	49, 68	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
71		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
72		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
73		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74		letsr 17829	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
75	74	elexi 3460	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
76		absf 14689	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
77		fex 6966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
78	76, 7, 77	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ V
79		subf 10877	. . . . . . . . . 10 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
80	7, 7	xpex 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
81		fex 6966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
82	79, 80, 81	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ − ∈ V
83	78, 82	coex 7617	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
84	70, 71, 72, 73, 75, 83	funtp 6381	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
85	51, 60, 69, 84	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86		fvex 6658	. . . . . . 7 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
87		fvex 6658	. . . . . . 7 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
88	86, 87	funsn 6377	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
89	85, 88	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
90	73, 75, 83	dmtpop 6042	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
91	87	dmsnop 6040	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
92	90, 91	ineq12i 4137	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93		3nn0 11903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
94	52, 93, 54, 55	decltdi 12125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;13
95	46, 94	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;13
96		unifndx 16669	. . . . . . . . 9 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
97	95, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
98	45, 97	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99		3nn 11704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
100		3pos 11730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
101	62, 63, 99, 100	declt 12114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;13
102	61, 101	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;13
103	102, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (UnifSet‘ndx)
104	49, 103	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
105	62, 53	deccl 12101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 11896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
107		2lt3 11797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
108	62, 53, 99, 107	declt 12114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 < ;13
109	106, 108	ltneii 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ≠ ;13
110	109, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 ≠ (UnifSet‘ndx)
111	58, 110	eqnetri 3057	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112		disjtpsn 4611	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
113	98, 104, 111, 112	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
114	92, 113	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115		funun 6370	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
116	89, 114, 115	mp2an 691	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
117	44, 116	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118		dmun 5743	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119		dmun 5743	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120	118, 119	ineq12i 4137	. . . 4 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
121	18, 90	ineq12i 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122		1lt9 11831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 9
123	22, 122	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 9
124	123, 45	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (TopSet‘ndx)
125	21, 124	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126		2lt9 11830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 9
127	29, 126	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 9
128	127, 45	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (TopSet‘ndx)
129	28, 128	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130		3lt9 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < 9
131	35, 130	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 9
132	131, 45	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (TopSet‘ndx)
133	34, 132	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134	125, 129, 133	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135		1lt10 12225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;10
136	22, 135	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;10
137	136, 49	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (le‘ndx)
138	21, 137	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139		2lt10 12224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;10
140	29, 139	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;10
141	140, 49	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (le‘ndx)
142	28, 141	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143		3lt10 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
144	35, 143	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;10
145	144, 49	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (le‘ndx)
146	34, 145	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147	138, 142, 146	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
148	22, 46, 122	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 9
149	52, 53, 62, 148	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;12
150	22, 149	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;12
151	150, 58	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (dist‘ndx)
152	21, 151	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
153	29, 46, 126	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ 9
154	52, 53, 53, 153	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;12
155	29, 154	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;12
156	155, 58	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (dist‘ndx)
157	28, 156	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
158	35, 46, 130	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≤ 9
159	52, 53, 93, 158	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;12
160	35, 159	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;12
161	160, 58	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (dist‘ndx)
162	34, 161	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163	152, 157, 162	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164		disjtp2 4612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165	134, 147, 163, 164	mp3an 1458	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166	121, 165	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
167	18, 91	ineq12i 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
168	52, 93, 62, 148	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < ;13
169	22, 168	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ ;13
170	169, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
171	21, 170	eqnetri 3057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
172	52, 93, 53, 153	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;13
173	29, 172	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ ;13
174	173, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
175	28, 174	eqnetri 3057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
176	52, 93, 93, 158	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < ;13
177	35, 176	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ ;13
178	177, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
179	34, 178	eqnetri 3057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180		disjtpsn 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181	171, 175, 179, 180	mp3an 1458	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182	167, 181	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183	166, 182	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184		undisj2 4370	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185	183, 184	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
186	19, 90	ineq12i 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187		incom 4128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188		4re 11709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
189		4lt9 11828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 9
190	188, 189	gtneii 10741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≠ 4
191	190, 25	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
192	45, 191	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193		4lt10 12222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;10
194	188, 193	gtneii 10741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ≠ 4
195	194, 25	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ≠ (*𝑟‘ndx)
196	49, 195	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197		4nn0 11904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
198	188, 46, 189	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≤ 9
199	52, 53, 197, 198	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;12
200	188, 199	gtneii 10741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;12 ≠ 4
201	200, 25	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 ≠ (*𝑟‘ndx)
202	58, 201	eqnetri 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203		disjtpsn 4611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204	192, 196, 202, 203	mp3an 1458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205	187, 204	eqtri 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206	186, 205	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
207	19, 91	ineq12i 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
208	52, 93, 197, 198	decltdi 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;13
209	188, 208	ltneii 10742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ ;13
210	209, 96	neeqtrri 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
211	25, 210	eqnetri 3057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212		disjsn2 4608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214	207, 213	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215	206, 214	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216		undisj2 4370	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217	215, 216	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218	185, 217	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219		undisj1 4369	. . . . 5 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220	218, 219	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221	120, 220	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222		funun 6370	. . 3 ⊢ (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223	117, 221, 222	mp2an 691	. 2 ⊢ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224		df-cnfld 20092	. . 3 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225	224	funeqi 6345	. 2 ⊢ (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226	223, 225	mpbir 234	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525  {ctp 4529  ⟨cop 4531   × cxp 5517  dom cdm 5519   ∘ ccom 5523  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  9c9 11687  ;cdc 12086  ∗ccj 14447  abscabs 14585  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  *_𝑟cstv 16559  TopSetcts 16563  lecple 16564  distcds 16566  UnifSetcunif 16567   TosetRel ctsr 17801  MetOpencmopn 20081  metUnifcmetu 20082  ℂ_fldccnfld 20091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-cnfld 20092

This theorem is referenced by: (None)