Theorem cnfldfun 21156

Description: The field of complex numbers is a function. The proof is much shorter than the proof of cnfldfunALT 21157 by using cnfldstr 21146 and structn0fun 17088: in addition, it must be shown that ∅ ∉ ℂ_fld. (Contributed by AV, 18-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfun	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldstr 21146	. 2 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩
2		structn0fun 17088	. . 3 ⊢ (ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩ → Fun (ℂfld ∖ {∅}))
3		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
4		cnex 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ≠ ∅
6	5	nesymi 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩
7		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
8		addex 12976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + ∈ V
9	7, 8	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ≠ ∅
10	9	nesymi 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩
11		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
12		mulex 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · ∈ V
13	11, 12	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ≠ ∅
14	13	nesymi 2996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩
15		3ioran 1104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
16		0ex 5306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	eltp 4691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∨ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∨ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
18	15, 17	xchnxbir 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ↔ (¬ ∅ = ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(.r‘ndx), · ⟩))
19	6, 10, 14, 18	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
20		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
21		cjf 15055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
22		fex 7229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
23	21, 4, 22	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗ ∈ V
24	20, 23	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ ≠ ∅
25	24	necomi 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩
26		nelsn 4667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ≠ ⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
28	19, 27	pm3.2i 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
29		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
30		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
31	29, 30	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
32	31	nesymi 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩
33		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
34		letsr 18550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
35	34	elexi 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ ∈ V
36	33, 35	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ≠ ∅
37	36	nesymi 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩
38		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
39		absf 15288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
40		fex 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
41	39, 4, 40	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ abs ∈ V
42		subf 11466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
43	4, 4	xpex 7742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
44		fex 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
45	42, 43, 44	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ − ∈ V
46	41, 45	coex 7923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
47	38, 46	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩ ≠ ∅
48	47	nesymi 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩
49		3ioran 1104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩) ↔ (¬ ∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∧ ¬ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
50	32, 37, 48, 49	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩)
51	16	eltp 4691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ↔ (∅ = ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩ ∨ ∅ = ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩ ∨ ∅ = ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩))
52	50, 51	mtbir 322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
53		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
54		fvex 6903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
55	53, 54	opnzi 5473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ ≠ ∅
56	55	necomi 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩
57		nelsn 4667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ≠ ⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩ → ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
59	52, 58	pm3.2i 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
60	28, 59	pm3.2i 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
61		ioran 980	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
62		ioran 980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
63		ioran 980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
64	62, 63	anbi12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ ¬ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
65	61, 64	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((¬ ∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (¬ ∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ ¬ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
66	60, 65	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
67		df-cnfld 21145	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
68	67	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ ℂfld ↔ ∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
69		elun 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
70		elun 4147	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
71		elun 4147	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ↔ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
72	70, 71	orbi12i 911	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ∅ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
73	68, 69, 72	3bitri 296	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ ℂfld ↔ ((∅ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ (∅ ∈ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∨ ∅ ∈ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
74	66, 73	mtbir 322	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ ℂfld
75		disjsn 4714	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ℂfld)
76	74, 75	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∩ {∅}) = ∅
77		disjdif2 4478	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∩ {∅}) = ∅ → (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld)
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∖ {∅}) = ℂfld
79	78	funeqi 6568	. . 3 ⊢ (Fun (ℂfld ∖ {∅}) ↔ Fun ℂfld)
80	2, 79	sylib 217	. 2 ⊢ (ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩ → Fun ℂfld)
81	1, 80	ax-mp 5	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  {csn 4627  {ctp 4631  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   × cxp 5673   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℂcc 11110  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   ≤ cle 11253   − cmin 11448  3c3 12272  ;cdc 12681  ∗ccj 15047  abscabs 15185   Struct cstr 17083  ndxcnx 17130  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  ._rcmulr 17202  *_𝑟cstv 17203  TopSetcts 17207  lecple 17208  distcds 17210  UnifSetcunif 17211   TosetRel ctsr 18522  MetOpencmopn 21134  metUnifcmetu 21135  ℂ_fldccnfld 21144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-cnfld 21145

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