Theorem cnfldfun 20559

Description: The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfun	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnplusgndx 16610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2		basendxnmulrndx 16620	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3		plusgndxnmulrndx 16619	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
6		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
7		cnex 10620	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
8		addex 12390	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ V
9		mulex 12391	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ V
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	funtp 6413	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11	1, 2, 3, 10	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
13		cjf 14465	. . . . . . . 8 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
14		fex 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
15	13, 7, 14	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ∈ V
16	12, 15	funsn 6409	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
17	11, 16	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
18	7, 8, 9	dmtpop 6077	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
19	15	dmsnop 6075	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
20	18, 19	ineq12i 4189	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21		basendx 16549	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22		1re 10643	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		1lt4 11816	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
24	22, 23	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 4
25		starvndx 16625	. . . . . . . . 9 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
26	24, 25	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
27	21, 26	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28		plusgndx 16597	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) = 2
29		2re 11714	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2lt4 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
31	29, 30	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 4
32	31, 25	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
33	28, 32	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34		mulrndx 16617	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) = 3
35		3re 11720	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36		3lt4 11814	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
37	35, 36	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 4
38	37, 25	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
39	34, 38	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40		disjtpsn 4653	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
41	27, 33, 39, 40	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
42	20, 41	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43		funun 6402	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
44	17, 42, 43	mp2an 690	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45		tsetndx 16661	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
46		9re 11739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
47		9lt10 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;10
48	46, 47	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;10
49		plendx 16668	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘ndx) = ;10
50	48, 49	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (le‘ndx)
51	45, 50	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52		1nn 11651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
53		2nn0 11917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 11924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	46	leidi 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ≤ 9
56	52, 53, 54, 55	decltdi 12140	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;12
57	46, 56	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;12
58		dsndx 16677	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
59	57, 58	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (dist‘ndx)
60	45, 59	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61		10re 12120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 ∈ ℝ
62		1nn0 11916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
63		0nn0 11915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
64		2nn 11713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
65		2pos 11743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
66	62, 63, 64, 65	declt 12129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
67	61, 66	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;12
68	67, 58	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (dist‘ndx)
69	49, 68	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
71		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
72		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
73		fvex 6685	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74		letsr 17839	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
75	74	elexi 3515	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
76		absf 14699	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
77		fex 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
78	76, 7, 77	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ V
79		subf 10890	. . . . . . . . . 10 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
80	7, 7	xpex 7478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
81		fex 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
82	79, 80, 81	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ − ∈ V
83	78, 82	coex 7637	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
84	70, 71, 72, 73, 75, 83	funtp 6413	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
85	51, 60, 69, 84	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
87		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
88	86, 87	funsn 6409	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
89	85, 88	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
90	73, 75, 83	dmtpop 6077	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
91	87	dmsnop 6075	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
92	90, 91	ineq12i 4189	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93		3nn0 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
94	52, 93, 54, 55	decltdi 12140	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;13
95	46, 94	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;13
96		unifndx 16679	. . . . . . . . 9 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
97	95, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
98	45, 97	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99		3nn 11719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
100		3pos 11745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
101	62, 63, 99, 100	declt 12129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;13
102	61, 101	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;13
103	102, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (UnifSet‘ndx)
104	49, 103	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
105	62, 53	deccl 12116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
107		2lt3 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
108	62, 53, 99, 107	declt 12129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 < ;13
109	106, 108	ltneii 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ≠ ;13
110	109, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 ≠ (UnifSet‘ndx)
111	58, 110	eqnetri 3088	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112		disjtpsn 4653	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
113	98, 104, 111, 112	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
114	92, 113	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115		funun 6402	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
116	89, 114, 115	mp2an 690	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
117	44, 116	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118		dmun 5781	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119		dmun 5781	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120	118, 119	ineq12i 4189	. . . 4 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
121	18, 90	ineq12i 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122		1lt9 11846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 9
123	22, 122	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 9
124	123, 45	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (TopSet‘ndx)
125	21, 124	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126		2lt9 11845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 9
127	29, 126	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 9
128	127, 45	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (TopSet‘ndx)
129	28, 128	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130		3lt9 11844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < 9
131	35, 130	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 9
132	131, 45	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (TopSet‘ndx)
133	34, 132	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134	125, 129, 133	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135		1lt10 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;10
136	22, 135	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;10
137	136, 49	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (le‘ndx)
138	21, 137	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139		2lt10 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;10
140	29, 139	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;10
141	140, 49	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (le‘ndx)
142	28, 141	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143		3lt10 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
144	35, 143	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;10
145	144, 49	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (le‘ndx)
146	34, 145	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147	138, 142, 146	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
148	22, 46, 122	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 9
149	52, 53, 62, 148	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;12
150	22, 149	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;12
151	150, 58	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (dist‘ndx)
152	21, 151	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
153	29, 46, 126	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ 9
154	52, 53, 53, 153	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;12
155	29, 154	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;12
156	155, 58	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (dist‘ndx)
157	28, 156	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
158	35, 46, 130	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≤ 9
159	52, 53, 93, 158	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;12
160	35, 159	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;12
161	160, 58	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (dist‘ndx)
162	34, 161	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163	152, 157, 162	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164		disjtp2 4654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165	134, 147, 163, 164	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166	121, 165	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
167	18, 91	ineq12i 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
168	52, 93, 62, 148	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < ;13
169	22, 168	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ ;13
170	169, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
171	21, 170	eqnetri 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
172	52, 93, 53, 153	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;13
173	29, 172	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ ;13
174	173, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
175	28, 174	eqnetri 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
176	52, 93, 93, 158	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < ;13
177	35, 176	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ ;13
178	177, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
179	34, 178	eqnetri 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180		disjtpsn 4653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181	171, 175, 179, 180	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182	167, 181	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183	166, 182	pm3.2i 473	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184		undisj2 4414	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185	183, 184	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
186	19, 90	ineq12i 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187		incom 4180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188		4re 11724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
189		4lt9 11843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 9
190	188, 189	gtneii 10754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≠ 4
191	190, 25	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
192	45, 191	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193		4lt10 12237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;10
194	188, 193	gtneii 10754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ≠ 4
195	194, 25	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ≠ (*𝑟‘ndx)
196	49, 195	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197		4nn0 11919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
198	188, 46, 189	ltleii 10765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≤ 9
199	52, 53, 197, 198	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;12
200	188, 199	gtneii 10754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;12 ≠ 4
201	200, 25	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 ≠ (*𝑟‘ndx)
202	58, 201	eqnetri 3088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203		disjtpsn 4653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204	192, 196, 202, 203	mp3an 1457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205	187, 204	eqtri 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206	186, 205	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
207	19, 91	ineq12i 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
208	52, 93, 197, 198	decltdi 12140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;13
209	188, 208	ltneii 10755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ ;13
210	209, 96	neeqtrri 3091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
211	25, 210	eqnetri 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212		disjsn2 4650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214	207, 213	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215	206, 214	pm3.2i 473	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216		undisj2 4414	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217	215, 216	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218	185, 217	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219		undisj1 4413	. . . . 5 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220	218, 219	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221	120, 220	eqtri 2846	. . 3 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222		funun 6402	. . 3 ⊢ (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223	117, 221, 222	mp2an 690	. 2 ⊢ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224		df-cnfld 20548	. . 3 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225	224	funeqi 6378	. 2 ⊢ (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226	223, 225	mpbir 233	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937  ∅c0 4293  {csn 4569  {ctp 4573  ⟨cop 4575   × cxp 5555  dom cdm 5557   ∘ ccom 5561  Fun wfun 6351  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  9c9 11702  ;cdc 12101  ∗ccj 14457  abscabs 14595  ndxcnx 16482  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  *_𝑟cstv 16569  TopSetcts 16573  lecple 16574  distcds 16576  UnifSetcunif 16577   TosetRel ctsr 17811  MetOpencmopn 20537  metUnifcmetu 20538  ℂ_fldccnfld 20547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-cnfld 20548

This theorem is referenced by: (None)