Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmlaomn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmlaomn0 34450
Description: The empty set is not a Godel formula of any height. (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmlaomn0 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ βˆ… βˆ‰ (Fmlaβ€˜π‘))

Proof of Theorem fmlaomn0
Dummy variables π‘₯ 𝑖 𝑗 𝑒 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜βˆ…))
21eleq2d 2819 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)))
32notbid 317 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)))
4 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜π‘¦))
54eleq2d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)))
65notbid 317 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)))
7 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜suc 𝑦))
87eleq2d 2819 . . . 4 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦)))
98notbid 317 . . 3 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦)))
10 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜π‘))
1110eleq2d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘)))
1211notbid 317 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘)))
13 0ex 5307 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
14 opex 5464 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V
1513, 14pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V))
17 necom 2994 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… β‰  βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ↔ βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β‰  βˆ…)
18 opnz 5473 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β‰  βˆ… ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V))
1917, 18bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆ… β‰  βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V))
2016, 19sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ βˆ… β‰  βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2120neneqd 2945 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ βˆ… = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
22 goel 34407 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2322eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆ… = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
2421, 23mtbird 324 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
2524rgen2 3197 . . . . . 6 βˆ€π‘– ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)
26 ralnex2 3133 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
2725, 26mpbi 229 . . . . 5 Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)
2827intnan 487 . . . 4 Β¬ (βˆ… ∈ V ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
29 fmla0 34442 . . . . . 6 (Fmlaβ€˜βˆ…) = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
3029eleq2i 2825 . . . . 5 (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…) ↔ βˆ… ∈ {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)})
31 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
32312rexbidv 3219 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
3332elrab 3683 . . . . 5 (βˆ… ∈ {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)} ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
3430, 33bitri 274 . . . 4 (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…) ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
3528, 34mtbir 322 . . 3 Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)
36 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦))
37 1oex 8478 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ V
38 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ V
3937, 38opnzi 5474 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ© β‰  βˆ…
4039nesymi 2998 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆ… = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©
41 gonafv 34410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©)
4241adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©)
4342eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ βˆ… = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©))
4440, 43mtbiri 326 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£))
4544ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£))
46 2oex 8479 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o ∈ V
47 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . 15 βŸ¨π‘–, π‘’βŸ© ∈ V
4846, 47opnzi 5474 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ© β‰  βˆ…
4948nesymi 2998 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ βˆ… = ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ©
50 df-goal 34402 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘”π‘–π‘’ = ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ©
5150eqeq2i 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ βˆ… = ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ©)
5249, 51mtbir 322 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑖 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)
5453ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)
5545, 54jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
5655ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
58 ralnex 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£))
59 ralnex 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)
6058, 59anbi12i 627 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
61 ioran 982 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6260, 61bitr4i 277 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6362ralbii 3093 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
64 ralnex 3072 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6563, 64bitri 274 . . . . . . 7 (βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6657, 65sylib 217 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
67 ioran 982 . . . . . 6 (Β¬ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)) ↔ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∧ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
6836, 66, 67sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
69 fmlasuc 34446 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) = ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}))
7069eleq2d 2819 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) ↔ βˆ… ∈ ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)})))
71 elun 4148 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆ… ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}))
72 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£)))
7372rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£)))
74 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
7574rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
7673, 75orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
7776rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
7813, 77elab 3668 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
7978orbi2i 911 . . . . . . . 8 ((βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆ… ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
8071, 79bitri 274 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
8170, 80bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))))
8281adantr 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))))
8368, 82mtbird 324 . . . 4 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦))
8483ex 413 . . 3 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦)))
853, 6, 9, 12, 35, 84finds 7891 . 2 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘))
86 df-nel 3047 . 2 (βˆ… βˆ‰ (Fmlaβ€˜π‘) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘))
8785, 86sylibr 233 1 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ βˆ… βˆ‰ (Fmlaβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634  suc csuc 6366  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  1oc1o 8461  2oc2o 8462  βˆˆπ‘”cgoe 34393  βŠΌπ‘”cgna 34394  βˆ€π‘”cgol 34395  Fmlacfmla 34397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-map 8824  df-goel 34400  df-gona 34401  df-goal 34402  df-sat 34403  df-fmla 34405
This theorem is referenced by:  fmlan0  34451  gonan0  34452
  Copyright terms: Public domain W3C validator