Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmlaomn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmlaomn0 34936
Description: The empty set is not a Godel formula of any height. (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmlaomn0 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ βˆ… βˆ‰ (Fmlaβ€˜π‘))

Proof of Theorem fmlaomn0
Dummy variables π‘₯ 𝑖 𝑗 𝑒 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜βˆ…))
21eleq2d 2814 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)))
32notbid 318 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)))
4 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜π‘¦))
54eleq2d 2814 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)))
65notbid 318 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)))
7 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜suc 𝑦))
87eleq2d 2814 . . . 4 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦)))
98notbid 318 . . 3 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦)))
10 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Fmlaβ€˜π‘₯) = (Fmlaβ€˜π‘))
1110eleq2d 2814 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘)))
1211notbid 318 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘)))
13 0ex 5301 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
14 opex 5460 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V
1513, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V))
17 necom 2989 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… β‰  βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ↔ βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β‰  βˆ…)
18 opnz 5469 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β‰  βˆ… ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V))
1917, 18bitri 275 . . . . . . . . . 10 (βˆ… β‰  βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ V))
2016, 19sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ βˆ… β‰  βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2120neneqd 2940 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ βˆ… = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
22 goel 34893 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2322eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆ… = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
2421, 23mtbird 325 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
2524rgen2 3192 . . . . . 6 βˆ€π‘– ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)
26 ralnex2 3128 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
2725, 26mpbi 229 . . . . 5 Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)
2827intnan 486 . . . 4 Β¬ (βˆ… ∈ V ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—))
29 fmla0 34928 . . . . . 6 (Fmlaβ€˜βˆ…) = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
3029eleq2i 2820 . . . . 5 (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…) ↔ βˆ… ∈ {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)})
31 eqeq1 2731 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
32312rexbidv 3214 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
3332elrab 3680 . . . . 5 (βˆ… ∈ {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)} ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
3430, 33bitri 275 . . . 4 (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…) ↔ (βˆ… ∈ V ∧ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ βˆ… = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)))
3528, 34mtbir 323 . . 3 Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)
36 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦))
37 1oex 8490 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ V
38 opex 5460 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ V
3937, 38opnzi 5470 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ© β‰  βˆ…
4039nesymi 2993 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆ… = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©
41 gonafv 34896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©)
4241adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©)
4342eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ βˆ… = ⟨1o, βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©βŸ©))
4440, 43mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑣 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£))
4544ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£))
46 2oex 8491 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o ∈ V
47 opex 5460 . . . . . . . . . . . . . . 15 βŸ¨π‘–, π‘’βŸ© ∈ V
4846, 47opnzi 5470 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ© β‰  βˆ…
4948nesymi 2993 . . . . . . . . . . . . 13 Β¬ βˆ… = ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ©
50 df-goal 34888 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ€π‘”π‘–π‘’ = ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ©
5150eqeq2i 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ βˆ… = ⟨2o, βŸ¨π‘–, π‘’βŸ©βŸ©)
5249, 51mtbir 323 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’
5352a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑖 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)
5453ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)
5545, 54jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 𝑒 ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
5655ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
58 ralnex 3067 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£))
59 ralnex 3067 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)
6058, 59anbi12i 626 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
61 ioran 982 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6260, 61bitr4i 278 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6362ralbii 3088 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
64 ralnex 3067 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6563, 64bitri 275 . . . . . . 7 (βˆ€π‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆ€π‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) Β¬ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∧ βˆ€π‘– ∈ Ο‰ Β¬ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
6657, 65sylib 217 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
67 ioran 982 . . . . . 6 (Β¬ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)) ↔ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∧ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
6836, 66, 67sylanbrc 582 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
69 fmlasuc 34932 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) = ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}))
7069eleq2d 2814 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) ↔ βˆ… ∈ ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)})))
71 elun 4144 . . . . . . . 8 (βˆ… ∈ ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆ… ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}))
72 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£)))
7372rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£)))
74 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
7574rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’ ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
7673, 75orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
7776rexbidv 3173 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
7813, 77elab 3665 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))
7978orbi2i 911 . . . . . . . 8 ((βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆ… ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
8071, 79bitri 275 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ ((Fmlaβ€˜π‘¦) βˆͺ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)π‘₯ = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ π‘₯ = βˆ€π‘”π‘–π‘’)}) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’)))
8170, 80bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))))
8281adantr 480 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦) ↔ (βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) ∨ βˆƒπ‘’ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)(βˆƒπ‘£ ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)βˆ… = (π‘’βŠΌπ‘”π‘£) ∨ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆ… = βˆ€π‘”π‘–π‘’))))
8368, 82mtbird 325 . . . 4 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦)) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦))
8483ex 412 . . 3 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘¦) β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜suc 𝑦)))
853, 6, 9, 12, 35, 84finds 7898 . 2 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘))
86 df-nel 3042 . 2 (βˆ… βˆ‰ (Fmlaβ€˜π‘) ↔ Β¬ βˆ… ∈ (Fmlaβ€˜π‘))
8785, 86sylibr 233 1 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ βˆ… βˆ‰ (Fmlaβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   β‰  wne 2935   βˆ‰ wnel 3041  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7864  1oc1o 8473  2oc2o 8474  βˆˆπ‘”cgoe 34879  βŠΌπ‘”cgna 34880  βˆ€π‘”cgol 34881  Fmlacfmla 34883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-map 8838  df-goel 34886  df-gona 34887  df-goal 34888  df-sat 34889  df-fmla 34891
This theorem is referenced by:  fmlan0  34937  gonan0  34938
  Copyright terms: Public domain W3C validator