Theorem pinn 10918

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 10912	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 4136	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 4030	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3979	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  {csn 4626  ωcom 7887  Ncnpi 10884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-v 3482  df-dif 3954  df-ss 3968  df-ni 10912

This theorem is referenced by:  pion  10919  piord  10920  mulidpi  10926  addclpi  10932  mulclpi  10933  addcompi  10934  addasspi  10935  mulcompi  10936  mulasspi  10937  distrpi  10938  addcanpi  10939  mulcanpi  10940  addnidpi  10941  ltexpi  10942  ltapi  10943  ltmpi  10944  indpi  10947