Theorem pinn 11000

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 10994	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2		difss 4075	. . 3 ⊢ (ω ∖ {∅}) ⊆ ω
3	1, 2	eqsstri 3959	. 2 ⊢ N ⊆ ω
4	3	sseli 3909	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ωcom 7909  Ncnpi 10966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-ni 10994

This theorem is used by:  pion  11001  piord  11002  mulidpi  11008  addclpi  11014  mulclpi  11015  addcompi  11016  addasspi  11017  mulcompi  11018  mulasspi  11019  distrpi  11020  addcanpi  11021  mulcanpi  11022  addnidpi  11023  ltexpi  11024  ltapi  11025  ltmpi  11026  indpi  11029