Theorem addcompi 10891

Description: Addition of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcompi	⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴)

Proof of Theorem addcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10875	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10875	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnacom 8619	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) = (𝐵 +o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) = (𝐵 +o 𝐴))
5		addpiord 10881	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
6		addpiord 10881	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐴) = (𝐵 +o 𝐴))
7	6	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐴) = (𝐵 +o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴))
9		dmaddpi 10887	. . 3 ⊢ dom +N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7596	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ωcom 7857   +_o coa 8465  Ncnpi 10841   +_N cpli 10842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-oadd 8472  df-ni 10869  df-pli 10870

This theorem is referenced by:  addcompq  10947  adderpqlem  10951