Theorem addcompi 10806

Description: Addition of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcompi	⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴)

Proof of Theorem addcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10790	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnacom 8544	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) = (𝐵 +o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) = (𝐵 +o 𝐴))
5		addpiord 10796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
6		addpiord 10796	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐴) = (𝐵 +o 𝐴))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐴) = (𝐵 +o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴))
9		dmaddpi 10802	. . 3 ⊢ dom +N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7545	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ωcom 7808   +_o coa 8393  Ncnpi 10756   +_N cpli 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-oadd 8400  df-ni 10784  df-pli 10785

This theorem is referenced by:  addcompq  10862  adderpqlem  10866