Theorem addcompi 10951

Description: Addition of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcompi	⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴)

Proof of Theorem addcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10935	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnacom 8604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) = (𝐵 +o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) = (𝐵 +o 𝐴))
5		addpiord 10941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
6		addpiord 10941	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐴) = (𝐵 +o 𝐴))
7	6	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐴) = (𝐵 +o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴))
9		dmaddpi 10947	. . 3 ⊢ dom +N = (N × N)
10	9	ndmovcom 7596	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴))
11	8, 10	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐵 +N 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ωcom 7860   +_o coa 8451  Ncnpi 10901   +_N cpli 10902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-oadd 8458  df-ni 10929  df-pli 10930

This theorem is used by:  addcompq  11007  adderpqlem  11011