MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elni2 9899
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 9898 . 2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2 nnord 7218 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ord0eln0 5920 . . . 4 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
54pm5.32i 564 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
61, 5bitr4i 267 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  wcel 2145  wne 2943  c0 4063  Ord word 5863  ωcom 7210  Ncnpi 9866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-om 7211  df-ni 9894
This theorem is referenced by:  addclpi  9914  mulclpi  9915  mulcanpi  9922  addnidpi  9923  ltexpi  9924  ltmpi  9926  indpi  9929
  Copyright terms: Public domain W3C validator