MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elni2 10917
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 10916 . 2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2 nnord 7895 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ord0eln0 6439 . . . 4 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
54pm5.32i 574 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
61, 5bitr4i 278 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2108  wne 2940  c0 4333  Ord word 6383  ωcom 7887  Ncnpi 10884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-om 7888  df-ni 10912
This theorem is referenced by:  addclpi  10932  mulclpi  10933  mulcanpi  10940  addnidpi  10941  ltexpi  10942  ltmpi  10944  indpi  10947
  Copyright terms: Public domain W3C validator