Theorem elni2 10861

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		nnord 7869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ord0eln0 6418	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
6	1, 5	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  Ord word 6360  ωcom 7861  Ncnpi 10828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365  df-om 7862  df-ni 10856

This theorem is referenced by:  addclpi  10876  mulclpi  10877  mulcanpi  10884  addnidpi  10885  ltexpi  10886  ltmpi  10888  indpi  10891