MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elni2 10633
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 10632 . 2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2 nnord 7720 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ord0eln0 6320 . . . 4 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
54pm5.32i 575 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
61, 5bitr4i 277 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wcel 2106  wne 2943  c0 4256  Ord word 6265  ωcom 7712  Ncnpi 10600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270  df-om 7713  df-ni 10628
This theorem is referenced by:  addclpi  10648  mulclpi  10649  mulcanpi  10656  addnidpi  10657  ltexpi  10658  ltmpi  10660  indpi  10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator