Theorem elni2 10969

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10968	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		nnord 7889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ord0eln0 6422	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
6	1, 5	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  Ord word 6364  ωcom 7881  Ncnpi 10936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368  df-on 6369  df-om 7882  df-ni 10964

This theorem is used by:  addclpi  10984  mulclpi  10985  mulcanpi  10992  addnidpi  10993  ltexpi  10994  ltmpi  10996  indpi  10999