MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elni2 10302
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 elni 10301 . 2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2 nnord 7591 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ord0eln0 6248 . . . 4 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
54pm5.32i 577 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
61, 5bitr4i 280 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398  wcel 2113  wne 3019  c0 4294  Ord word 6193  ωcom 7583  Ncnpi 10269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-tr 5176  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-om 7584  df-ni 10297
This theorem is referenced by:  addclpi  10317  mulclpi  10318  mulcanpi  10325  addnidpi  10326  ltexpi  10327  ltmpi  10329  indpi  10332
  Copyright terms: Public domain W3C validator