Theorem elni2 10768

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elni 10767	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		nnord 7804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ord0eln0 6362	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
5	4	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
6	1, 5	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  Ord word 6305  ωcom 7796  Ncnpi 10735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309  df-on 6310  df-om 7797  df-ni 10763

This theorem is referenced by:  addclpi  10783  mulclpi  10784  mulcanpi  10791  addnidpi  10792  ltexpi  10793  ltmpi  10795  indpi  10798