MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrpi 10889
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrpi (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ))

Proof of Theorem distrpi
StepHypRef Expression
1 pinn 10869 . . . 4 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
2 pinn 10869 . . . 4 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
3 pinn 10869 . . . 4 (๐ถ โˆˆ N โ†’ ๐ถ โˆˆ ฯ‰)
4 nndi 8619 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3an 1160 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
6 addclpi 10883 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ต +N ๐ถ) โˆˆ N)
7 mulpiord 10876 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต +N ๐ถ) โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)))
86, 7sylan2 593 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)))
9 addpiord 10875 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ต +N ๐ถ) = (๐ต +o ๐ถ))
109oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
1110adantl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
128, 11eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
13123impb 1115 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
14 mulclpi 10884 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)
15 mulclpi 10884 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N)
16 addpiord 10875 . . . . . 6 (((๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N โˆง (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)))
1714, 15, 16syl2an 596 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)))
18 mulpiord 10876 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต))
19 mulpiord 10876 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
2018, 19oveqan12d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
2117, 20eqtrd 2772 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
22213impdi 1350 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
235, 13, 223eqtr4d 2782 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)))
24 dmaddpi 10881 . . 3 dom +N = (N ร— N)
25 0npi 10873 . . 3 ยฌ โˆ… โˆˆ N
26 dmmulpi 10882 . . 3 dom ยทN = (N ร— N)
2724, 25, 26ndmovdistr 7592 . 2 (ยฌ (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)))
2823, 27pm2.61i 182 1 (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7405  ฯ‰com 7851   +o coa 8459   ยทo comu 8460  Ncnpi 10835   +N cpli 10836   ยทN cmi 10837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865
This theorem is referenced by:  adderpqlem  10945  addassnq  10949  distrnq  10952  ltanq  10962  ltexnq  10966
  Copyright terms: Public domain W3C validator