Theorem distrpi 10858

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrpi	⊢ (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶))

Proof of Theorem distrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10838	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 10838	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nndi 8590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
6		addclpi 10852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
7		mulpiord 10845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
8	6, 7	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
9		addpiord 10844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
10	9	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
12	8, 11	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
13	12	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
14		mulclpi 10853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
15		mulclpi 10853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
16		addpiord 10844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
18		mulpiord 10845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
19		mulpiord 10845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
20	18, 19	oveqan12d 7409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
21	17, 20	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
22	21	3impdi 1351	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
24		dmaddpi 10850	. . 3 ⊢ dom +N = (N × N)
25		0npi 10842	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
26		dmmulpi 10851	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
27	24, 25, 26	ndmovdistr 7581	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
28	23, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ωcom 7845   +_o coa 8434   ·_o comu 8435  Ncnpi 10804   +_N cpli 10805   ·_N cmi 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-ni 10832  df-pli 10833  df-mi 10834

This theorem is referenced by:  adderpqlem  10914  addassnq  10918  distrnq  10921  ltanq  10931  ltexnq  10935