Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distrpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distrpi 10348
 Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
distrpi (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶))

Proof of Theorem distrpi
StepHypRef Expression
1 pinn 10328 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 10328 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 pinn 10328 . . . 4 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
4 nndi 8257 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1158 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
6 addclpi 10342 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
7 mulpiord 10335 . . . . . 6 ((𝐴N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
86, 7sylan2 596 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
9 addpiord 10334 . . . . . . 7 ((𝐵N𝐶N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
109oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
1110adantl 486 . . . . 5 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
128, 11eqtrd 2794 . . . 4 ((𝐴N ∧ (𝐵N𝐶N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
13123impb 1113 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
14 mulclpi 10343 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
15 mulclpi 10343 . . . . . 6 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
16 addpiord 10334 . . . . . 6 (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
1714, 15, 16syl2an 599 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
18 mulpiord 10335 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
19 mulpiord 10335 . . . . . 6 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
2018, 19oveqan12d 7167 . . . . 5 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
2117, 20eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
22213impdi 1348 . . 3 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
235, 13, 223eqtr4d 2804 . 2 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
24 dmaddpi 10340 . . 3 dom +N = (N × N)
25 0npi 10332 . . 3 ¬ ∅ ∈ N
26 dmmulpi 10341 . . 3 dom ·N = (N × N)
2724, 25, 26ndmovdistr 7331 . 2 (¬ (𝐴N𝐵N𝐶N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
2823, 27pm2.61i 185 1 (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7148  ωcom 7577   +o coa 8107   ·o comu 8108  Ncnpi 10294   +N cpli 10295   ·N cmi 10296 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7457 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-oadd 8114  df-omul 8115  df-ni 10322  df-pli 10323  df-mi 10324 This theorem is referenced by:  adderpqlem  10404  addassnq  10408  distrnq  10411  ltanq  10421  ltexnq  10425
 Copyright terms: Public domain W3C validator