Theorem distrpi 10811

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
distrpi	⊢ (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶))

Proof of Theorem distrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10791	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 10791	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nndi 8548	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
6		addclpi 10805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
7		mulpiord 10798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
8	6, 7	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
9		addpiord 10797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
10	9	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
12	8, 11	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
13	12	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
14		mulclpi 10806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
15		mulclpi 10806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
16		addpiord 10797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
18		mulpiord 10798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
19		mulpiord 10798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
20	18, 19	oveqan12d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
21	17, 20	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
22	21	3impdi 1351	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
24		dmaddpi 10803	. . 3 ⊢ dom +N = (N × N)
25		0npi 10795	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
26		dmmulpi 10804	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
27	24, 25, 26	ndmovdistr 7542	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))
28	23, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ωcom 7806   +_o coa 8392   ·_o comu 8393  Ncnpi 10757   +_N cpli 10758   ·_N cmi 10759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-ni 10785  df-pli 10786  df-mi 10787

This theorem is referenced by:  adderpqlem  10867  addassnq  10871  distrnq  10874  ltanq  10884  ltexnq  10888