Theorem ltexpi 10313

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10289	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10289	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnaordex 8247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
5		ltpiord 10298	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		addpiord 10295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝐴 +N 𝑥) = (𝐴 +o 𝑥))
7	6	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8	7	pm5.32da 582	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
9		elni2 10288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ N ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥))
10	9	anbi1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
11		anass 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
12	10, 11	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
13	8, 12	syl6bb 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
14	13	rexbidv2 3254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
15	14	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
16	4, 5, 15	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ωcom 7560   +_o coa 8082  Ncnpi 10255   +_N cpli 10256   <_N clti 10258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-ni 10283  df-pli 10284  df-lti 10286

This theorem is referenced by:  ltexnq  10386  archnq  10391