Theorem ltexpi 10980

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10956	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10956	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnaordex 8640	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
5		ltpiord 10965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		addpiord 10962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝐴 +N 𝑥) = (𝐴 +o 𝑥))
7	6	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8	7	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
9		elni2 10955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ N ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥))
10	9	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
11		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
12	10, 11	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
13	8, 12	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
14	13	rexbidv2 3183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
15	14	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
16	4, 5, 15	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ωcom 7875   +_o coa 8466  Ncnpi 10922   +_N cpli 10923   <_N clti 10925

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-oadd 8473  df-ni 10950  df-pli 10951  df-lti 10953

This theorem is used by:  ltexnq  11053  archnq  11058