Theorem ltexpi 10816

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10792	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10792	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnaordex 8567	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
5		ltpiord 10801	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		addpiord 10798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝐴 +N 𝑥) = (𝐴 +o 𝑥))
7	6	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8	7	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
9		elni2 10791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ N ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥))
10	9	anbi1i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
11		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
12	10, 11	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
13	8, 12	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
14	13	rexbidv2 3158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
16	4, 5, 15	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ωcom 7810   +_o coa 8395  Ncnpi 10758   +_N cpli 10759   <_N clti 10761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-oadd 8402  df-ni 10786  df-pli 10787  df-lti 10789

This theorem is referenced by:  ltexnq  10889  archnq  10894