Theorem ltexpi 10899

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 10875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 10875	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnaordex 8640	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
5		ltpiord 10884	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		addpiord 10881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝐴 +N 𝑥) = (𝐴 +o 𝑥))
7	6	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
8	7	pm5.32da 577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
9		elni2 10874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ N ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥))
10	9	anbi1i 622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
11		anass 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
12	10, 11	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
13	8, 12	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ((𝑥 ∈ N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
14	13	rexbidv2 3172	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
15	14	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
16	4, 5, 15	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ωcom 7857   +_o coa 8465  Ncnpi 10841   +_N cpli 10842   <_N clti 10844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-oadd 8472  df-ni 10869  df-pli 10870  df-lti 10872

This theorem is referenced by:  ltexnq  10972  archnq  10977