MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexpi 10869
Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum. (Contributed by NM, 15-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexpi
StepHypRef Expression
1 pinn 10845 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 10845 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nnaordex 8612 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
5 ltpiord 10854 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 addpiord 10851 . . . . . . 7 ((𝐴N𝑥N) → (𝐴 +N 𝑥) = (𝐴 +o 𝑥))
76eqeq1d 2733 . . . . . 6 ((𝐴N𝑥N) → ((𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
87pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐴N → ((𝑥N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
9 elni2 10844 . . . . . . 7 (𝑥N ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥))
109anbi1i 624 . . . . . 6 ((𝑥N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))
11 anass 469 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝑥) ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
1210, 11bitri 274 . . . . 5 ((𝑥N ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
138, 12bitrdi 286 . . . 4 (𝐴N → ((𝑥N ∧ (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ω ∧ (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵))))
1413rexbidv2 3173 . . 3 (𝐴N → (∃𝑥N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
1514adantr 481 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (∃𝑥N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (∅ ∈ 𝑥 ∧ (𝐴 +o 𝑥) = 𝐵)))
164, 5, 153bitr4d 310 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ∃𝑥N (𝐴 +N 𝑥) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3069  c0 4309   class class class wbr 5132  (class class class)co 7384  ωcom 7829   +o coa 8436  Ncnpi 10811   +N cpli 10812   <N clti 10814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pr 5411  ax-un 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-int 4935  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-oadd 8443  df-ni 10839  df-pli 10840  df-lti 10842
This theorem is referenced by:  ltexnq  10942  archnq  10947
  Copyright terms: Public domain W3C validator