MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpi 10886
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 10878 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2 pinn 10872 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 10872 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnacl 8609 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
53, 4sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 10871 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7 nnaordi 8616 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
8 ne0i 4329 . . . . . . . 8 ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
97, 8syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
109expcom 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)))
1110imp32 418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
126, 11sylan2b 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
13 elni 10870 . . . 4 ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
145, 12, 13sylanbrc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
152, 14sylan 579 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
161, 15eqeltrd 2827 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wne 2934  c0 4317  (class class class)co 7404  ωcom 7851   +o coa 8461  Ncnpi 10838   +N cpli 10839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-oadd 8468  df-ni 10866  df-pli 10867
This theorem is referenced by:  addasspi  10889  distrpi  10892  addcanpi  10893  ltapi  10897  1lt2pi  10899  indpi  10901  addpqf  10938  adderpqlem  10948  addassnq  10952  distrnq  10955  1lt2nq  10967  archnq  10974  prlem934  11027
  Copyright terms: Public domain W3C validator