MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpi 10935
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 10927 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2 pinn 10921 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 10921 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnacl 8641 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
53, 4sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 10920 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7 nnaordi 8648 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
8 ne0i 4337 . . . . . . . 8 ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
97, 8syl6 35 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
109expcom 412 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)))
1110imp32 417 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
126, 11sylan2b 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
13 elni 10919 . . . 4 ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
145, 12, 13sylanbrc 581 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
152, 14sylan 578 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
161, 15eqeltrd 2826 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2099  wne 2930  c0 4325  (class class class)co 7424  ωcom 7876   +o coa 8493  Ncnpi 10887   +N cpli 10888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-oadd 8500  df-ni 10915  df-pli 10916
This theorem is referenced by:  addasspi  10938  distrpi  10941  addcanpi  10942  ltapi  10946  1lt2pi  10948  indpi  10950  addpqf  10987  adderpqlem  10997  addassnq  11001  distrnq  11004  1lt2nq  11016  archnq  11023  prlem934  11076
  Copyright terms: Public domain W3C validator