Theorem addclpi 10904

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 10896	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2		pinn 10890	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 10890	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnacl 8602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
5	3, 4	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 10889	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7		nnaordi 8609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
8		ne0i 4290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
9	7, 8	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
10	9	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)))
11	10	imp32 424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
12	6, 11	sylan2b 606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅)
13		elni 10888	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +o 𝐵) ≠ ∅))
14	5, 12, 13	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
15	2, 14	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ N)
16	1, 15	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  (class class class)co 7416  ωcom 7865   +_o coa 8455  Ncnpi 10856   +_N cpli 10857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-oadd 8462  df-ni 10884  df-pli 10885

This theorem is used by:  addasspi  10907  distrpi  10910  addcanpi  10911  ltapi  10915  1lt2pi  10917  indpi  10919  addpqf  10956  adderpqlem  10966  addassnq  10970  distrnq  10973  1lt2nq  10985  archnq  10992  prlem934  11045