Theorem addclpi 10001

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addpiord 9993	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
2		pinn 9987	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 9987	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnacl 7930	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
5	3, 4	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 9986	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7		nnaordi 7937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8		ne0i 4120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
9	7, 8	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
10	9	expcom 403	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)))
11	10	imp32 410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
12	6, 11	sylan2b 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
13		elni 9985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
14	5, 12, 13	sylanbrc 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
15	2, 14	sylan 576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
16	1, 15	eqeltrd 2877	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970  ∅c0 4114  (class class class)co 6877  ωcom 7298   +_𝑜 coa 7795  Ncnpi 9953   +_N cpli 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-oadd 7802  df-ni 9981  df-pli 9982

This theorem is referenced by:  addasspi  10004  distrpi  10007  addcanpi  10008  ltapi  10012  1lt2pi  10014  indpi  10016  addpqf  10053  adderpqlem  10063  addassnq  10067  distrnq  10070  1lt2nq  10082  archnq  10089  prlem934  10142