Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcanpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcanpi 10312
 Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcanpi ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi
StepHypRef Expression
1 addclpi 10305 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2 eleq1 2877 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
31, 2syl5ib 247 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
43imp 410 . . . . . . . 8 (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴N𝐵N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5 dmaddpi 10303 . . . . . . . . 9 dom +N = (N × N)
6 0npi 10295 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ N
75, 6ndmovrcl 7315 . . . . . . . 8 ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴N𝐶N))
8 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → 𝐶N)
94, 7, 83syl 18 . . . . . . 7 (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴N𝐵N)) → 𝐶N)
10 addpiord 10297 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
1110adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12 addpiord 10297 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
1312adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
1411, 13eqeq12d 2814 . . . . . . . 8 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15 pinn 10291 . . . . . . . . . 10 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
16 pinn 10291 . . . . . . . . . 10 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
17 pinn 10291 . . . . . . . . . 10 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
18 nnacan 8239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
1918biimpd 232 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
2015, 16, 17, 19syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21203expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
2214, 21sylbid 243 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
239, 22sylan2 595 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴N𝐵N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
2423exp32 424 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
2524imp4b 425 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
2625pm2.43i 52 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
2726ex 416 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28 oveq2 7143 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
2927, 28impbid1 228 1 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ωcom 7562   +o coa 8084  Ncnpi 10257   +N cpli 10258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-oadd 8091  df-ni 10285  df-pli 10286 This theorem is referenced by:  adderpqlem  10367
 Copyright terms: Public domain W3C validator