Theorem addcanpi 10513

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpi 10506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
3	1, 2	syl5ib 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
4	3	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5		dmaddpi 10504	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +N = (N × N)
6		0npi 10496	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
7	5, 6	ndmovrcl 7394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
8		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → 𝐶 ∈ N)
10		addpiord 10498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
11	10	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12		addpiord 10498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
13	12	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15		pinn 10492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
16		pinn 10492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
17		pinn 10492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
18		nnacan 8356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	18	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	15, 16, 17, 19	syl3an 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3expa 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22	14, 21	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
23	9, 22	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24	23	exp32 424	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
25	24	imp4b 425	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
26	25	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28		oveq2 7221	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
29	27, 28	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ωcom 7644   +_o coa 8199  Ncnpi 10458   +_N cpli 10459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-oadd 8206  df-ni 10486  df-pli 10487

This theorem is referenced by:  adderpqlem  10568