Theorem addcanpi 10914

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpi 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
3	1, 2	imbitrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
4	3	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5		dmaddpi 10905	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +N = (N × N)
6		0npi 10897	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
7	5, 6	ndmovrcl 7601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → 𝐶 ∈ N)
10		addpiord 10899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12		addpiord 10899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
13	12	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
14	11, 13	eqeq12d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15		pinn 10893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
16		pinn 10893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
17		pinn 10893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
18		nnacan 8642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	18	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	15, 16, 17, 19	syl3an 1158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3expa 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22	14, 21	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
23	9, 22	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24	23	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
25	24	imp4b 421	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
26	25	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28		oveq2 7422	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
29	27, 28	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ωcom 7864   +_o coa 8477  Ncnpi 10859   +_N cpli 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-oadd 8484  df-ni 10887  df-pli 10888

This theorem is referenced by:  adderpqlem  10969