Theorem addcanpi 10814

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpi 10807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
3	1, 2	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
4	3	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5		dmaddpi 10805	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +N = (N × N)
6		0npi 10797	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
7	5, 6	ndmovrcl 7546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → 𝐶 ∈ N)
10		addpiord 10799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12		addpiord 10799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
13	12	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15		pinn 10793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
16		pinn 10793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
17		pinn 10793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
18		nnacan 8558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	15, 16, 17, 19	syl3an 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3expa 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22	14, 21	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
23	9, 22	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24	23	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
25	24	imp4b 421	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
26	25	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28		oveq2 7368	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
29	27, 28	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ωcom 7810   +_o coa 8396  Ncnpi 10759   +_N cpli 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-oadd 8403  df-ni 10787  df-pli 10788

This theorem is referenced by:  adderpqlem  10869