Theorem addcanpi 10890

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpi 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2		eleq1 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
3	1, 2	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
4	3	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5		dmaddpi 10881	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +N = (N × N)
6		0npi 10873	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
7	5, 6	ndmovrcl 7598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
8		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
9	4, 7, 8	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → 𝐶 ∈ N)
10		addpiord 10875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
11	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12		addpiord 10875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
13	12	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
14	11, 13	eqeq12d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15		pinn 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
16		pinn 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
17		pinn 10869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
18		nnacan 8612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	18	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	15, 16, 17, 19	syl3an 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3expa 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22	14, 21	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
23	9, 22	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24	23	exp32 425	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
25	24	imp4b 426	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
26	25	pm2.43i 53	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28		oveq2 7420	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
29	27, 28	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ωcom 7860   +_o coa 8448  Ncnpi 10835   +_N cpli 10836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-oadd 8455  df-ni 10863  df-pli 10864

This theorem is used by:  adderpqlem  10945