MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcanpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcanpi 10894
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addcanpi ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi
StepHypRef Expression
1 addclpi 10887 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
31, 2imbitrid 243 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
43imp 408 . . . . . . . 8 (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴N𝐵N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5 dmaddpi 10885 . . . . . . . . 9 dom +N = (N × N)
6 0npi 10877 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ N
75, 6ndmovrcl 7593 . . . . . . . 8 ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴N𝐶N))
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → 𝐶N)
94, 7, 83syl 18 . . . . . . 7 (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴N𝐵N)) → 𝐶N)
10 addpiord 10879 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12 addpiord 10879 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
1312adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
1411, 13eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15 pinn 10873 . . . . . . . . . 10 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
16 pinn 10873 . . . . . . . . . 10 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
17 pinn 10873 . . . . . . . . . 10 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
18 nnacan 8628 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
1918biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
2015, 16, 17, 19syl3an 1161 . . . . . . . . 9 ((𝐴N𝐵N𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21203expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
2214, 21sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐵N) ∧ 𝐶N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
239, 22sylan2 594 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴N𝐵N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
2423exp32 422 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
2524imp4b 423 . . . 4 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
2625pm2.43i 52 . . 3 (((𝐴N𝐵N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
2726ex 414 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28 oveq2 7417 . 2 (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
2927, 28impbid1 224 1 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7409  ωcom 7855   +o coa 8463  Ncnpi 10839   +N cpli 10840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-oadd 8470  df-ni 10867  df-pli 10868
This theorem is referenced by:  adderpqlem  10949
  Copyright terms: Public domain W3C validator