Theorem addcanpi 10940

Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpi 10933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
2		eleq1 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 +N 𝐵) ∈ N ↔ (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
3	1, 2	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N))
4	3	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → (𝐴 +N 𝐶) ∈ N)
5		dmaddpi 10931	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +N = (N × N)
6		0npi 10923	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
7	5, 6	ndmovrcl 7620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +N 𝐶) ∈ N → (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N))
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → 𝐶 ∈ N)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N)) → 𝐶 ∈ N)
10		addpiord 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
12		addpiord 10925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
13	12	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
14	11, 13	eqeq12d 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ (𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶)))
15		pinn 10919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
16		pinn 10919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
17		pinn 10919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
18		nnacan 8667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
20	15, 16, 17, 19	syl3an 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
21	20	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +o 𝐵) = (𝐴 +o 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
22	14, 21	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
23	9, 22	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N))) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
24	23	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))))
25	24	imp4b 421	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶))
26	25	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶)) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
28		oveq2 7440	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶))
29	27, 28	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +N 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ωcom 7888   +_o coa 8504  Ncnpi 10885   +_N cpli 10886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-oadd 8511  df-ni 10913  df-pli 10914

This theorem is referenced by:  adderpqlem  10995