Theorem mulclpi 10816

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 10808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2		pinn 10801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 10801	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnmcl 8548	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
5	2, 3, 4	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 10800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7	6	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → ∅ ∈ 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐵)
9	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ ω)
10	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ ω)
11		elni2 10800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
12	11	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐴)
14		nnmordi 8567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
16	8, 15	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
17	16	ne0d 4282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
18		elni 10799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
19	5, 17, 18	sylanbrc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
20	1, 19	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  (class class class)co 7367  ωcom 7817   ·_o comu 8403  Ncnpi 10767   ·_N cmi 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-ni 10795  df-mi 10797

This theorem is referenced by:  mulasspi  10820  distrpi  10821  mulcanpi  10823  ltmpi  10827  enqer  10844  addpqf  10867  mulpqf  10869  adderpqlem  10877  mulerpqlem  10878  addassnq  10881  mulassnq  10882  mulcanenq  10883  distrnq  10884  recmulnq  10887  ltsonq  10892  lterpq  10893  ltanq  10894  ltmnq  10895  ltexnq  10898  archnq  10903