Theorem mulclpi 10889

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 10881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2		pinn 10874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 10874	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnmcl 8600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 10873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7	6	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → ∅ ∈ 𝐵)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐵)
9	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ ω)
10	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ ω)
11		elni2 10873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
12	11	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐴)
14		nnmordi 8619	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
16	8, 15	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
17	16	ne0d 4295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
18		elni 10872	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
19	5, 17, 18	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
20	1, 19	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  (class class class)co 7416  ωcom 7864   ·_o comu 8453  Ncnpi 10840   ·_N cmi 10842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-ni 10868  df-mi 10870

This theorem is used by:  mulasspi  10893  distrpi  10894  mulcanpi  10896  ltmpi  10900  enqer  10917  addpqf  10940  mulpqf  10942  adderpqlem  10950  mulerpqlem  10951  addassnq  10954  mulassnq  10955  mulcanenq  10956  distrnq  10957  recmulnq  10960  ltsonq  10965  lterpq  10966  ltanq  10967  ltmnq  10968  ltexnq  10971  archnq  10976