MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 10926
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 10918 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2 pinn 10911 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 10911 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 8633 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 594 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 10910 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 495 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 480 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 10910 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 495 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 8652 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 836 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
1716ne0d 4337 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
18 elni 10909 . . 3 ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
195, 17, 18sylanbrc 581 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
201, 19eqeltrd 2826 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2099  wne 2930  c0 4324  (class class class)co 7415  ωcom 7867   ·o comu 8485  Ncnpi 10877   ·N cmi 10879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-ni 10905  df-mi 10907
This theorem is referenced by:  mulasspi  10930  distrpi  10931  mulcanpi  10933  ltmpi  10937  enqer  10954  addpqf  10977  mulpqf  10979  adderpqlem  10987  mulerpqlem  10988  addassnq  10991  mulassnq  10992  mulcanenq  10993  distrnq  10994  recmulnq  10997  ltsonq  11002  lterpq  11003  ltanq  11004  ltmnq  11005  ltexnq  11008  archnq  11013
  Copyright terms: Public domain W3C validator