MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 10890
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 10882 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต))
2 pinn 10875 . . . 4 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
3 pinn 10875 . . . 4 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
4 nnmcl 8614 . . . 4 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
52, 3, 4syl2an 596 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
6 elni2 10874 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ N โ†” (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต))
76simprbi 497 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ N โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
87adantl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
93adantl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
102adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
11 elni2 10874 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ N โ†” (๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด))
1211simprbi 497 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ N โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ด)
14 nnmordi 8633 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
159, 10, 13, 14syl21anc 836 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (๐ด ยทo ๐ต))
1716ne0d 4335 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…)
18 elni 10873 . . 3 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ N โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐ต) โ‰  โˆ…))
195, 17, 18sylanbrc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ N)
201, 19eqeltrd 2833 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4322  (class class class)co 7411  ฯ‰com 7857   ยทo comu 8466  Ncnpi 10841   ยทN cmi 10843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-ni 10869  df-mi 10871
This theorem is referenced by:  mulasspi  10894  distrpi  10895  mulcanpi  10897  ltmpi  10901  enqer  10918  addpqf  10941  mulpqf  10943  adderpqlem  10951  mulerpqlem  10952  addassnq  10955  mulassnq  10956  mulcanenq  10957  distrnq  10958  recmulnq  10961  ltsonq  10966  lterpq  10967  ltanq  10968  ltmnq  10969  ltexnq  10972  archnq  10977
  Copyright terms: Public domain W3C validator