![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulclpi | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulclpi | โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) โ N) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulpiord 10882 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต)) | |
2 | pinn 10875 | . . . 4 โข (๐ด โ N โ ๐ด โ ฯ) | |
3 | pinn 10875 | . . . 4 โข (๐ต โ N โ ๐ต โ ฯ) | |
4 | nnmcl 8614 | . . . 4 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ) | |
5 | 2, 3, 4 | syl2an 596 | . . 3 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ) |
6 | elni2 10874 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ N โ (๐ต โ ฯ โง โ โ ๐ต)) | |
7 | 6 | simprbi 497 | . . . . . 6 โข (๐ต โ N โ โ โ ๐ต) |
8 | 7 | adantl 482 | . . . . 5 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ โ โ ๐ต) |
9 | 3 | adantl 482 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ ๐ต โ ฯ) |
10 | 2 | adantr 481 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ ๐ด โ ฯ) |
11 | elni2 10874 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ N โ (๐ด โ ฯ โง โ โ ๐ด)) | |
12 | 11 | simprbi 497 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ N โ โ โ ๐ด) |
13 | 12 | adantr 481 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ โ โ ๐ด) |
14 | nnmordi 8633 | . . . . . 6 โข (((๐ต โ ฯ โง ๐ด โ ฯ) โง โ โ ๐ด) โ (โ โ ๐ต โ (๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต))) | |
15 | 9, 10, 13, 14 | syl21anc 836 | . . . . 5 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (โ โ ๐ต โ (๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
16 | 8, 15 | mpd 15 | . . . 4 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo โ ) โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
17 | 16 | ne0d 4335 | . . 3 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ โ ) |
18 | elni 10873 | . . 3 โข ((๐ด ยทo ๐ต) โ N โ ((๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ โง (๐ด ยทo ๐ต) โ โ )) | |
19 | 5, 17, 18 | sylanbrc 583 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ N) |
20 | 1, 19 | eqeltrd 2833 | 1 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) โ N) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โ wcel 2106 โ wne 2940 โ c0 4322 (class class class)co 7411 ฯcom 7857 ยทo comu 8466 Ncnpi 10841 ยทN cmi 10843 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 ax-un 7727 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-oadd 8472 df-omul 8473 df-ni 10869 df-mi 10871 |
This theorem is referenced by: mulasspi 10894 distrpi 10895 mulcanpi 10897 ltmpi 10901 enqer 10918 addpqf 10941 mulpqf 10943 adderpqlem 10951 mulerpqlem 10952 addassnq 10955 mulassnq 10956 mulcanenq 10957 distrnq 10958 recmulnq 10961 ltsonq 10966 lterpq 10967 ltanq 10968 ltmnq 10969 ltexnq 10972 archnq 10977 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |