Theorem mulclpi 10853

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 10845	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2		pinn 10838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
3		pinn 10838	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
4		nnmcl 8579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
5	2, 3, 4	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6		elni2 10837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7	6	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ N → ∅ ∈ 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐵)
9	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐵 ∈ ω)
10	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → 𝐴 ∈ ω)
11		elni2 10837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
12	11	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ∅ ∈ 𝐴)
14		nnmordi 8598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
15	9, 10, 13, 14	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
16	8, 15	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
17	16	ne0d 4308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
18		elni 10836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
19	5, 17, 18	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
20	1, 19	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  (class class class)co 7390  ωcom 7845   ·_o comu 8435  Ncnpi 10804   ·_N cmi 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-ni 10832  df-mi 10834

This theorem is referenced by:  mulasspi  10857  distrpi  10858  mulcanpi  10860  ltmpi  10864  enqer  10881  addpqf  10904  mulpqf  10906  adderpqlem  10914  mulerpqlem  10915  addassnq  10918  mulassnq  10919  mulcanenq  10920  distrnq  10921  recmulnq  10924  ltsonq  10929  lterpq  10930  ltanq  10931  ltmnq  10932  ltexnq  10935  archnq  10940