MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 10031
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 10023 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2 pinn 10016 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 10016 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 7960 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 591 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 10015 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 492 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 475 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 475 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 10015 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 492 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 7979 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 873 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
1716ne0d 4152 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
18 elni 10014 . . 3 ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
195, 17, 18sylanbrc 580 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
201, 19eqeltrd 2907 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2166  wne 3000  c0 4145  (class class class)co 6906  ωcom 7327   ·o comu 7825  Ncnpi 9982   ·N cmi 9984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-oadd 7831  df-omul 7832  df-ni 10010  df-mi 10012
This theorem is referenced by:  mulasspi  10035  distrpi  10036  mulcanpi  10038  ltmpi  10042  enqer  10059  addpqf  10082  mulpqf  10084  adderpqlem  10092  mulerpqlem  10093  addassnq  10096  mulassnq  10097  mulcanenq  10098  distrnq  10099  recmulnq  10102  ltsonq  10107  lterpq  10108  ltanq  10109  ltmnq  10110  ltexnq  10113  archnq  10118
  Copyright terms: Public domain W3C validator