Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 10307
 Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 10299 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
2 pinn 10292 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 10292 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 8230 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 597 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 10291 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 499 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 484 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 484 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 483 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 10291 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 499 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 483 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 8249 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 835 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o ∅) ∈ (𝐴 ·o 𝐵))
1716ne0d 4299 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅)
18 elni 10290 . . 3 ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐵) ≠ ∅))
195, 17, 18sylanbrc 585 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ N)
201, 19eqeltrd 2911 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∅c0 4289  (class class class)co 7148  ωcom 7572   ·o comu 8092  Ncnpi 10258   ·N cmi 10260 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-ni 10286  df-mi 10288 This theorem is referenced by:  mulasspi  10311  distrpi  10312  mulcanpi  10314  ltmpi  10318  enqer  10335  addpqf  10358  mulpqf  10360  adderpqlem  10368  mulerpqlem  10369  addassnq  10372  mulassnq  10373  mulcanenq  10374  distrnq  10375  recmulnq  10378  ltsonq  10383  lterpq  10384  ltanq  10385  ltmnq  10386  ltexnq  10389  archnq  10394
 Copyright terms: Public domain W3C validator